En este curso vamos a aprender el cálculo de derivadas de funciones para esto te aconsejamos un buen dominio de la tabla de derivadas que te dejamos a continuación.
Cuando calculamos la derivada de una función estamos calculando la velocidad de cambio instantánea de variación de la función matemática que estamos estudiando en relación a la variación de la variable independiente.
En otras palabras la derivada nos muestra como cambia la función en virtud del cambio de la variable x.
Definición de Derivada
La derivada de una función es una definición de concepto localizado, es decir; su calculo es el límite de la rapidez de cambio medio de la función en un intervalo dado. Cuando el intervalo considerado para la variable independiente tiende a cero. Debido a esto se dice valor de la derivada de una función en un punto considerado.
Fórmula de la Derivada por definición
Éste va a ser solamente el principio de la utilización de esta herramienta matemática; ya que a partir del cálculo de la derivada y posteriormente con el cálculo de su signo vamos a obtener una cantidad de datos sobre la función original que van a ser relevantes para estudios de funciones.
En principio nos vamos abocar al cálculo de derivadas en este ejercicio en forma práctica a partir de la tabla de derivadas y viendo el álgebra de derivadas es decir cómo se derivan diferentes operaciones.
Estas operaciones diferentes que vamos a derivar pueden ser polinomios, logaritmos, potencias y exponenciales; además de calcular sumas restas divisiones multiplicaciones.
También vamos a realizar el cálculo de funciones compuestas aplicando la regla de la cadena para poder resolverlas.
Derivada de la Suma
Para calcular la derivada de una suma debemos aplicar la siguiente fórmula. Esta es muy sencilla, la derivada de una suma es la suma de las derivadas.
Fórmula de la Derivada de una Suma
Ejemplo de la Derivada de una Suma
Si nos planteamos la siguiente función que es una suma de funciones y planteamos la fórmula anteriormente establecida obtenemos:
Derivada de la Resta
La forma de derivar una resta de funciones es muy similar a la de la suma de funciones. Para entenderlo más claro veamos la fórmula global y un ejemplo aplicado de la misma.
Fórmula de la Derivada de la Resta
Vamos a plantear el siguiente ejemplo de derivación para comprender mejor esta fórmula planteada:
Derivada del Producto
Cuando tenemos una derivada de una multiplicación debemos aplicadr la siguiente fórmula que está establecida en la Tabla de Derivadas:
Fórmula de la Derivada del Producto
Ejemplo de la Derivada de un Producto
Derivada del producto de equis al cubo por logaritmo de x
En este ejercicio podemos observar el producto de dos funciones. La primera es x al cubo la cual está multiplicada por la función logaritmo de valor absoluto de X; es decir cómo podemos observar existen dos funciones que se están multiplicando entre ellas.
Para poder derivar este producto de funciones vamos a utilizar justamente la fórmula que nos planteamos anteriormente de la derivada de la multiplicación.
En este caso use la está representando xq mientras que a V la está representando la función logaritmo de X.
Si nosotros derivamos equis al cubo su derivada es 3x al cuadrado y si derivamos logaritmo de X su derivada es 1 sobre x.
Por lo tanto al componer la fórmula del producto de funciones nos va a quedar 3x al cuadrado * logaritmo de X sin derivar más x al cubo sin derivar por la derivada de logaritmo qué es 1 sobre x.
Esto es lo que vemos claramente representado en el ejemplo que planteamos anteriormente
Derivada del Cociente
Fórmula de la Derivada del Cociente
Ejemplo: Derivando una división
Entonces la derivada de esta división es:
Simplificando la ecuación nos queda lo siguiente:
En esta sección estamos viendo la fórmula de la derivada de la división de dos funciones en la cual tenemos la derivada de lo que denominamos la función de x entre la función V(x).
Cómo observamos la derivada es la división del numerador * el denominador sin derivar menos la derivada del denominador multiplicada por el numerador sin derivar.
Todo esto va dividido en el denominador al cuadrado.
Posteriormente vemos el ejemplo de la derivada de una división con su resultado para que tú puedas practicar y ver si llegas a él.
No te olvides que también tienes los ejercicios resueltos en vídeo para que tú puedas mirar el procedimiento paso a paso de cómo llegar a aplicar la derivada de una división y luego la simplificación necesaria para llegar a los resultados pedidos.
Tabla de Derivadas
Regla de la cadena en la Tabla de derivadas
Repartido de Ejercicios
Ejercicios de Derivadas Resueltos en Vídeo
Haz clic en cada uno de los cuadrados y tendrás los ejercicios resueltos en vídeo.
Cálculo de Derivas Simples Suma y Resta
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Que es la derivada de una función
Si queremos establecer una explicación sencilla y rápida para poder explicar en idioma cotidiano que es la derivada vamos a decir que esta es la velocidad con la que crece la variable y o variable dependiente con respecto a un crecimiento de la variable x.
Muchas veces tomamos intervalos de tiempo grandes para que esta expresión sea más cómoda y un ejemplo de esto puede ser la velocidad de un automóvil.
Qué un automóvil viaje a 70 km por hora significa que la variable dependiente distancia se modifica en 70 unidades en este caso kilómetros por cada unidad de tiempo que pase en este caso horas.
Cuando nosotros este cálculo lo llevamos a tiempos infinitesimal es decir que tiende a 0 vamos a estar diciendo lo que comúnmente expresamos Cómo velocidad instantánea. Y ese es el cálculo de la derivada de la posición con respecto al tiempo y en física por ejemplo le llamamos velocidad.
Esto es sin más ni menos lo que significa el término derivada; y como hemos visto en este curso aprendimos a partir de una función calcular su derivada.
Función y su derivada
Esto recordemos que es importante porque una función es el cálculo de una variable dependiente en función de otra que es una variable independiente.
En el ejemplo que utilizamos para describir a la derivada por ejemplo la función posición es la variable dependiente; ya que depende de cuánto tiempo pase para saber dónde va a estar un objeto ubicado.
Mientras que el tiempo es una variable independiente porque nosotros no la podemos manejar directamente; por eso que hablamos de que la posición está en función del tiempo.
Si derivamos esta función posición en función del tiempo vamos a estar calculando. Cómo cambia la posición con respecto al tiempo y a esto en el lenguaje cotidiano le llamamos velocidad.
Derivadas de diferentes Operaciones
Derivada de una función y sus aplicaciones
La función derivada tiene una gran cantidad de aplicaciones. Entre ellas podemos destacar el cálculo de máximos y mínimos de una función aparte de la gran importancia que tiene la determinación del crecimiento de una función y el decrecimiento.
Aunque no solamente nos da información sobre si la función crece o decrece; sino que nos dice con qué velocidad crece una función. Lo está haciendo es decir un valor más alto de una derivada nos permitirá decir que la función crece con mayor velocidad.
Esto significa que para un cambio de la variable independiente se produce un mayor cambio en la variable dependiente. A aparte de este cálculo también nos permite otros cálculos como la estimación de la ecuación de la tangente en un punto y una infinidad de cálculos en matemáticas superiores que iremos viendo en próximos cursos.
Por eso es que te decimos que le preste especial atención al cálculo de la derivada ya que ésta es una de las grandes herramientas que tienen la matemática para aplicarse en otras ciencias y poder determinar una gran cantidad de detalles sobre la función que estemos calculando y poder sacar importantes conclusiones.
Como por ejemplo mencionamos anteriormente los máximos y mínimos. Te dejamos una imagen aquí; para que veas como con el cálculo de la derivada podemos ir determinando el comportamiento de una función en determinados tramos los cuales están marcados en dicho gráfico.
Derivadas de una función: un concepto que posee varias aplicaciones.
Se aplica en aquellos casos en los que es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una función.
Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y otras ciencias exactas, también en ciencias sociales tales como Economía y Sociología.
Por ejemplo, cuando se considera una gráfica de dos dimensiones, se usa la derivada como pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto.
Se puede calcular la pendiente de la tangente como límite cuando la distancia entre los 2 puntos que determinan una recta secante a la función tiende a cero.
Con esta interpretación, pueden determinarse muchas otra propiedades de los gráficos de funciones; tales como monotonía de una función además de su concavidad o convexidad.