Probabilidad y Estadística

Hola, bienvenidos al curso de Probabilidad y Estadística.

En el iremos desarrollando los diferentes temas basados en ejercicios resueltos con una explicación teórica necesaria para poder resolverlos.

Ante la mínima duda ya sabes que cuentas con el apoyo permanente de PROFEonline.

Tema: Técnicas de conteo y probabilidad

Teoría de Conteo – Probabilidad y Estadística

Ejercicio 1

Introducción teórica al tema y resuelve el siguiente ejercicio:

Con las letras A,B,C,D y E.

• a) Cuántas palabras de tres letras distintas se pueden formar?
  
• b) Cuál es el número de palabras de tres letras se pueden formar si se pueden repetir letras?
  
• c) Cuántas palabras de tres letras distintas se pueden formar si deben empezar y terminar en una vocal?

Probabilidad Definición

Ejercicio 2

En cierta ciudad las matrículas de los autos se forman con dos vocales diferentes seguidas de cinco dígitos todos diferentes.

Calcular la probabilidad de elegir al azar una matrícula que empiece en A
y termine en 89.

Ejercicio 3 – Probabilidad y Estadística

Una caja en un almacén contiene cuatro focos de 40 W, cinco de 60 W y seis de 75 W.

Suponga que se elijen al azar sin reposición tres focos de la caja.

• a) Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionados sean de 75 W?
• b) Determine la probabilidad de que los tres focos sean de los mismos watts?
• c) Cuál es la probabilidad de que se seleccione un foco de cada tipo?

Ejercicio 4

Probabilidad y Diagramas de Venn

Sean A ; B y C eventos.

Describa los siguientes eventos usando operaciones entre los conjuntos A; B y el conjunto C y/o sus complementos:

• a) Ocurre alguno de los eventos A ; B o C.
• b) Ocurren los tres eventos A, B y C
• c) Ocurre A pero no ocurre B.
• d) Ocurren B y C pero no ocurre A.
• e) Ocurre B pero no ocurren ni A ni C.

Ejercicio 5 – Probabilidad y Estadística

Sean A y B dos eventos tales que P(A) = 3/8, P(B) = 1/2 y P(A∩B) = 1/4. Calcular:
a) P(A^c) y P(B^c).
b) P(A ∪ B).
c) P(A^c ∩ B^c).
d) P(A^c∩B) y P(A∩B^c).

Ejercicio 6 – Probabilidad y Estadística

Probabilidad condicional Introducción teórica y resolución del siguiente ejercicio:

Sea P una probabilidad, A; B sucesos tales que P(A) = 1/2 , P(B) = 1/3 P(A \ B) = 1/4 . Calcular:

Ejercicio 7 – Probabilidad y Estadística

Sea P una probabilidad, A y B sucesos tales que P(A) = 1/4 y P(A ∪ B) = 1/3 . Calcular P(B) en los siguientes casos
a) Si A y B son independientes.
b) Si A y B son incompatibles.
a) Si A es un subconjunto de B.

Probabilidad y Estadística – Ejercicio 8

Teorema de Bayes

Ejercicio 9

PyE – Ejercicio 10

Ejercicio 11 – Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística – Ejercicio 12

Ejercicio 13 – Probabilidad y Estadística

Una empresa petrolera perforaría una serie de pozos en cierta área hasta encontrar un pozo productivo. Se sabe, por estudios geológicos, que la probabilidad de tener éxito en una perforación es 0; 1.
a) Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado?
b) Cuál es la probabilidad de que la empresa no vaya a encontrar un pozo productivo si, debido al alto costo de la perforación, puede perforar un máximo de 10 pozos?

PyE Ejercicio 14

Supongamos que participo en un juego de apuestas en el que gano o pierdo lo apostado, es decir, si apuesto $50 y gano me los devuelven junto con otros $50 de ganancia. Supongamos además que la probabilidad de ganar es p = 1/2.
Empleo la siguiente estrategia para intentar ganar algo de dinero.
Apuesto $1, si pierdo, doblo mi apuesta a $2, si pierdo, doblo mi apuesta nuevamente. Sigo así hasta ganar una de las apuestas y me retiro.
a) Demostrar que si uso esta estrategia, entonces al retirarme obtengo una ganancia de $1.
Sugerencia: La siguiente fórmula puede ser de utilidad

Si esto realmente funcionara, los casinos estarían fuera del negocio. Nuestro objetivo en este problema es comprender la falla en la estrategia.
b) Sea X la cantidad de dinero apostado en el último juego (el que yo gané). X toma los valores 1, 2, 4, 8 ….. Determinar la función de probabilidad de masa de X.
c) Calcular E(X).
d) Usar la parte anterior para explicar por qué la estrategia es mala.

Ejercicio 15 – Probabilidad y Estadística

El número de pacientes que llega a un hospital sigue una distribución de Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos 3 pacientes?

Ejercicio 16 – Probabilidad y Estadística

Se sabe que el error en la medición de la temperatura en un experimento controlado de un laboratorio es una variable aleatoria X que tiene la función de densidad:

a) Veri car que f_X es efectivamente una densidad.
b) Hallar E(X).
c) Calcular P(0 < X < 1).
d) Hallar y graficar la función de distribución acumulada F_X.

Ejercicio 17 – Probabilidad y Estadística

Una variable aleatoria continua X tiene densidad

a) Hallar a.
b) Hallar la función de distribución acumulada de X.
c) Calcular P(1/2 < X < 1).
d) Calcular E(X) y Var(X).

Ejercicio 18 – Probabilidad y Estadística

Ejercicio 19 – Probabilidad y Estadística

Una empresa fabrica tornillos mediante dos máquinas A y B que producen el 75% y 25% del total respectivamente.
El largo de los tornillos es una variable aleatoria con distribución normal que para la máquina A tiene media 4 cm y desviación estándar de 1 cm mientras que para la máquina B tiene media 5 cm y desviación estándar 2 cm.
Un tornillo se considera defectuoso si su largo es mayor a 6 cm o si es menor a 3 cm.
Si se extrae un tornillo al azar de la producción total, cuál es la probabilidad de que resulte defectuoso?

Ejercicio 20 – Probabilidad y Estadística

Ejercicio 21

Sean X e Y variables aleatorias continuas con densidad conjunta

Ejercicio 22

Ejercicio 23

Se tienen tres monedas con probabilidad de cara p igual a 0,4, 0,5 y 0,6 respectivamente. Beto toma una de las monedas y se la da a Ana. Después de lanzar la moneda 100 veces, Ana obtiene cara 53 veces. Hallar una estimación de p basada en el método de máxima verosimilitud.

Ejercicio 24

Probabilidad y Estadística: Ejercicio resuelto de funciones de dos variables discretas:

Letra:

Sea (X, Y ) una v.a. bidimensional discreta con función masa de probabilidad dada por:

Calcular la función masa de probabilidad de X:

Determina la función masa de probabilidad de Y:

Calcula las funciones de distribución marginal de X y de Y:

Ejercicio 25

Se ha obtenido una muestra de 15 vendedores de una editorial para estimar el valor medio de las ventas por trabajador en la empresa. Asumimos que la variable de estudio tiene distribución normal.
La media empírica de la muestra es x_n = 5 y la varianza empírica es S²_n = 2,143.
a) Hallar un intervalo de confianza para la venta media por trabajador en la editorial con una confianza de 90 %.
b) Hallar un intervalo de confianza para la varianza de las ventas por trabajador en la editorial con una confianza de 90 %.
c) La empresa establece que si la venta media por trabajador es menor a 6 se deben tomar medidas para resolver la situación. Realizar un test de hipótesis a nivel  = 0; 05 para determinar si la empresa debe tomar estas medidas.

Ejercicio 26

Para estimar la proporción de roedores de una cierta especie que padecen determinada infección, se realiza un examen histológico a 182 individuos y se encuentra que 72 están infectados.
a) Estimar a partir de estos datos la proporción de roedores infectados en la población total.
b) Dar un intervalo de confianza aproximado de confianza 95% para la proporción de roedores infectados en la población total.

Ejercicio 27

Un fabricante a firma que la vida media de un componente electrónico supera las 1500 horas. Se selecciona una muestra de 900 componentes de la producción para establecer un control de calidad, obteniéndose los siguientes resultados: x_n = 1450 y S²_n = 650.
Realizar un test de hipótesis para determinar si el fabricante está dando información incorrecta.

Ejercicio 28

Cierto supermercado tiene una caja de salida común y una caja rápida. Si X es el número de clientes que están esperando en la caja común, en un determinado momento del día, Y es el número de clientes que están esperando en la caja rápida al mismo tiempo:
a) Encuentre el valor de la constante A para que la siguiente tabla sea la función
de probabilidad conjunta de las variables X e Y.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos dos clientes más esperando en una fila que en la otra? Justifique detalladamente.
c) Si se sabe que en la caja común hay dos personas esperando, ¿cuántos clientes como promedio están esperando en la caja rápida? Justifique detalladamente.

Ejercicio 29

En una fábrica se está considerando cambiar una máquina que consume combustible para su funcionamiento. Los tanques de combustible de este tipo de máquinas tienen idéntico volumen. El tiempo actual de recarga de combustible para poder continuar la producción se modela mediante una variable aleatoria normal con media 8,5 horas. Se ha ensayado la nueva máquina realizando 76 recargas en 684 horas, con una desviación estándar muestral del tiempo de recarga de 2 horas.
a) Realice un test de hipótesis con nivel de significancia de 0,10 para determinar si la nueva máquina es más eficiente (consume menos combustible). Justifique su procedimiento detalladamente.
b) Calcule el p-valor y explique su significado.
c) ¿Qué tipo de error podría cometerse al realizar la prueba de la parte a)? Explique en el contexto del problema lo que significa este error.

Ejercicio 30

Una empresa lleva un call-center atendido por tres empleados que identificaremos como A₁, A₂ y A₃. El porcentaje de llamadas atendidas por cada uno en sus respectivos horarios de trabajo es 20%, 45% y 35% respectivamente. De acuerdo a una encuesta de satisfacción de los clientes, se obtuvo que de las llamadas atendidas por A₁, el 20% de los clientes no queda satisfecho, de las atendidas por A₂, el 35% no queda satisfecho, y de las atendidas por A₃, el 10% no queda satisfecho.
a) Si se toma una de las llamadas grabadas al azar y se sabe que el cliente quedó satisfecho, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por A₁? Justifique detalladamente.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar dos llamadas al azar atendidas por el operador A₃, solamente uno de los clientes quede satisfecho? Justifique detalladamente.

Ejercicio 31

Se modela el tiempo de permanencia de los usuarios en un sitio web como una variable aleatoria normal con media 375 segundos y desviación estándar 9,7 segundos
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure entre 360 y 400 segundos? Justifique detalladamente.
b) ¿Cuál es tiempo de permanencia que separa el 15% de los usuarios que menos tiempo permanecen en el sitio del restante 85%? Justifique detalladamente.
c) Si se realizan modificaciones en el sitio web para hacerlo más atractivo y se obtiene a partir de una nueva muestra de los tiempos de permanencia por parte de los usuarios un promedio de 410 segundos, con una desviación estándar de 8,4 segundos. Determine un intervalo de confianza al 95 % para el tiempo de permanencia medio si para obtener la muestra se utilizaron 15 datos. Justifique detalladamente.

Ejercicio 32

Ejercicio 33

Ejercicio 34

Ejercicio 35

Considere los siguientes datos para tiempos de vida en segundos de un componente radioactivo

a) Realice un diagrama de caja para los datos, y comente las características de esta distribución de tiempos de acuerdo a simetría y variabilidad. Justifique su solución detalladamente.
b) Grafique un histograma para los datos con 5 clases. Justifique su solución detalladamente.

Contraste de Hipótesis

Ejercicio 36

Introducción teórica al Contraste de Hipótesis paramétrico

Parte 1

Ejercicio 37

Introducción teórica al Contraste de Hipótesis paramétrico

Parte 2

Ejercicio 38

Tipos de errores factibles de cometer en un contraste de hipótesis

Ejercicio 39

Definición teórica de P – Valor de un contraste de hipótesis

Ejercicio 40

La reglamentación establece que el contenido medio de nicotina de los cigarrillos no puede exceder 1,5 mg y que de no cumplirse la Oficina de Protección al Consumidor (OPC) impondrá una sanción económica a la empresa. La OPC afirma que X: «contenido de nicotina por cigarrillo (en mg)» sigue una distribución Normal (μ, Θ)

Una empresa tabacalera afirma que el contenido medio de nicotina de sus cigarrillos μ, no supera 1,5 mg, pero la OPC está interesada en probar que dicha afirmación no es cierta pues cree que el contenido medio de nicotina de los cigarrillos producidos por esta empresa es mayor a 1,5 mg

Ejercicio 41

Ejercicio 42

EXAMEN 26 DE FEBRERO 2015

Una Ingeniera Eléctrica diseña un nuevo microprocesador llamado Skynet pensado para ser usado en dispositivos de megacorporaciones. Debido al elevado costo de su producción, el interés es determinar la vida útil del nuevo componente a partir de una muestra de 28 prototipos que arrojó como resultado una media de 2,79 años y una varianza muestral de 0,39 años2. Por características del diseño, se sabe que la vida útil es modelada adecuadamente por una distribucion normal.
PARTE I
Por razones comerciales, el objetivo es establecer si la vida útil promedio es exactamente igual a 3 años o no, es decir se plantea el contraste H₀) μ = 3 contra H₁) μ 6 ≠ 3 donde μ es el tiempo de vida promedio de un microprocesador Skynet.
PREGUNTAS:

1. El valor del estadístico de contraste para la muestra obtenida es (utilice 2 cifras decimales):
   (A) -2;85 (B) -1;78 (C) 1;78
2. Si la Ingeniera decide un nivel de signi cación de α = 0;01, la región crítica para el contraste resultan ser los valores de x̄ que pertenecen al conjunto (utilice 3 cifras decimales):
   (A) (-∞; 2,673] ∪ [3,327;+∞)
   (B) (-∞;-2,771] ∪ [2,771;+∞)
   (C) (-∞; 2,708] ∪ [3,292;+∞)
3. El p-valor del contraste:
   (A) es menor que 0,05.
   (B) está comprendido entre 0,05 y 0,1.
   (C) es mayor que 0,1.

Ejercicio 43

La variabilidad del tiempo de vida del microprocesador está representada en el parámetro θ², para el cuál se propone el contraste de hipótesis H₀)θ² ≤ 0;5 contra H₁)θ² > 0,5 con un nivel de signi cación de α = 0;01.
PREGUNTAS:

1. Para este contraste, el estadístico usado bajo H₀) cierta se distribuye:
   (A) t₂₇ (B) x²₂₇ (C)x²₂₈
2. El valor del estadístico de contraste para la muestra obtenida es:
   (A) 23,85 (B) 21,06 (C) 21,84

Ejercicio 44

SEGUNDO PARCIAL 2014

Una consultora había pronosticado que los votantes que emitirán votos anulados o en blanco serán menos del 8% en el balotaje del 30 de noviembre. El día anterior al balotaje se hizo una prueba de hipótesis estadística para evaluar la pertinencia del pronóstico. A esos efectos se eligió al azar una muestra aleatoria de 500 personas que expresaron su voluntad de ir a votar.
El resultado fue que 50 afirmaron que iban a votar en blanco o anulado.
PREGUNTAS:

1. Siendo p la proporción de votos en blanco o anulados, el contraste a resolver es:
   (A) H₀) p ≥ 0,10 contra H₁) p < 0,10.
   (B) H₀) p ≥ 0,08 contra H₁) p < 0;08.
   (C) H₀) p = 0,08 contra H₁) p ≠  0,08.
2. Se quiere realizar el contraste con un nivel de signi cación del 5 %. El p – Valor del contraste y la decisión a tomar son:

(A) Como p – Valor = 0,9505 y es mayor al nivel de signi cación, entonces no rechazo H₀.
(B) Como el p – Valor = 0,0495 y es menor al nivel de signi cación, entonces rechazo H₀.
(C) Como el p – Valor = 0,099 y es mayor al nivel de signi cación, entonces no rechazo H₀.

Ejercicio 45

En cierto condado de Iowa, la cosecha promedio de maíz por acre es de 100 toneladas. Para un año en el que el clima fue particularmente bueno, se seleccionaron 12 parcelas en forma aleatoria y estas arrojaron una cosecha promedio de 106 toneladas por acre. Suponiendo que la producción por acre se puede modelar en forma adecuada por una distribución normal con una desviación estándar de 8 toneladas por acre,

1. ¿Existe alguna razón para creer que ese año la producción es mejor que la producción promedio normal a un nivel de significación del 1 %?
2. Para este caso, ¿cuál es el p valor?

Ejercicio 46

Se sabe que la distribución de una determinada población es normal con una desviación típica de 20. Calcule el p valor al contrastar la hipótesis de que la media poblacional es igual a 50 contra la alternativa en que la media poblacional es distinta de ese valor, si la media de una muestra de 64 observaciones resultó ser: (a) 52,5  (b) 55,0

Indique la decisión del contraste en cada caso para α = 0,05 y α = 0,01.

Ejercicio 47

Un restaurante ha tenido en los últimos años unas ventas medias diarias de 2000 dólares. La gerencia ha percibido una cierta mejora de la economía en el último tiempo por lo que ha decidido registrar rigurosamente las cifras de negocios de 8 días. Los valores obtenidos fueron: 2050; 2212; 1880; 2121; 2205; 2018; 1980; 2188.

Asuma que la distribución de las ventas diarias es normal. 

(a) Contraste al 5% de significación si el valor medio de ventas diarias ha sufrido cambios respecto a los últimos años.

(b) Contraste al 5% de significación si el valor medio de ventas diarias ha aumentado respecto a los últimos años.

Ejercicio 48

En ámbitos financieros la variabilidad de los precios es vista como una medida de riesgo del activo. Un inversor está evaluando la posibilidad de comprar un bono para el que dispone de una base de datos de 91 precios diarios del mismo con media y varianza muestrales iguales a 98 y 35 respectivamente. Su asesor en riesgo le dice que una desviación estándar superior a 5 implica un riesgo demasiado elevado para este activo. Admitiendo que la distribución de los precios es normal:

(a) Plantee las hipótesis nula y alternativa adecuadas a este problema. ¿Cuál es el peor error en este caso?

(b) ¿Cuál es un estadístico adecuado para la prueba y cuál es su distribución?

(c) Realice el contraste a un 1% de significación.

Ejercicio 49

Una empresa realizo un cambio en la gestión y desea investigar su impacto sobre los costos de atención a sus clientes. Para ello toma una muestra aleatoria de 6 clientes y calcula los costos de atención a cada uno de ellos de los que obtiene los siguientes datos: 180 – 200 – 185 – 206 – 170 – 181 Asuma que los costos de atención a los clientes siguen una distribución normal.

Ejercicio 50

Algunas de las vacunas producidas para la prevención del COVID-19 requieren su conservación a muy bajas temperaturas por lo que se requiere almacenarlas en ultra freezers. La Organización Mundial de la Salud (OMS} tiene el objetivo de que todos los países cuenten con los recursos que se requieren para la distribución de las vacunas por lo que está estudiando la variación que ha experimentado el precio de los ultra freezers en 2021 respecto de 2020.

Se sabe que la variable X = «precio de un ultra freezer» tiene distribución normal. Un estudio realizado en 2020 concluyó que X tenía media 10.000 euros.

El director de la OMS considera que concluir que el precio medio de los ultra freezers en 2021 es menor al vigente en 2020 cuando en realidad esto no es correcto sería el peor error. Solicita que se realice un contraste de hipótesis acorde a su preocupación trabajando al 1% de significación.

Por su parte, el Secretarlo de la OMS se propone construir contrastes de hipótesis que le permitan demostrar que:

A.         el precio medio de los ultra freezers se ha modificado asumiendo que en 2021 V(X)=39.204 trabajando al 1% de significación.

B.         el desvío del precio de los ultra freezers es mayor a 180 euros.

Para resolver los contrastes de hipótesis planteados, al comenzar este año, se seleccionó una muestra aleatoria de 25 proveedores de ultra freezers en la que se observó un precio promedio de 9.889,44 y varianza 49.167.

1. Plantee el contraste de Hipótesis propuesto por el Director de la OMS y haga los cálculos para evaluarlo
2. Realice el contraste A propuesto por el Secretario de la OMS
3. Construya y realice el contraste B propuesto por el Secretario de la OMS

Curso de Probabilidad y Estadística.