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Como Resolver Ecuaciones de Tercer Grado

¿Quieres aprender a resolver ecuaciones de tercer grado?.

Polinomios o Ecuaciones de Tercer Grado

Polinomios o Ecuaciones de tercer grado; es lo que en este curso vamos a aprender. Además de conocerás como calcular las raíces, calcular el signo de un polinomio, factorizar un polinomio y su gráfica.

Fórmula General de un Polinomio de grado 3

Si queremos plantear la ecuación cúbica; lo que debemos hacer es igualar a cero el polinomio cúbico, y tiene la forma canónica:

Polinomio de Grado 3, Ecuación de tercer grado, cubica, grado 3
Polinomio de Grado 3
Ecuación de Grado 3
Ecuación de Grado 3

Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a los números reales (o en el de los números complejos que no vamos a ver por ahora).

Las soluciones están generalmente de la ecuación de tercer grado son también llamadas raíces del polinomio.

Una de las preguntas que más se hacen los estudiantes cuando se enfrentan a este tipo de ejercicios es la siguiente:

Cuantas soluciones tiene una ecuación de tercer grado?

Este es uno de los aspectos importantes que debemos tener en cuenta que la ecuación que estamos queriendo resolver; considerando que sus coeficientes son reales; va a tener como máximo 3 soluciones reales; o en su defecto tiene una sola solución real y dos soluciones imaginarias (las cuales son números imaginarios conjugados).

Para aquellos que no hallan estudiado en ese momento números complejos vamos a expresar que esta ecuación tiene una sola solución real; y dos soluciones imaginarias que no vamos a calcular.

Ruffini para resolver ecuación de grado 3

Una de las formas de resolver una ecuación de tercer grado es decir calcular las raíces del polinomio; la cual queda planteada de esta manera:

raices polinomios tercer grado
Cálculo de raíces es resolver ecuación igualada a 0

La primera forma que vamos a ver en este curso dedicado a ecuaciones de grado 3 es; conociendo una de las tres raíces; con ella bajar por Ruffini al polinomio; y el cual nos va a dar por resultado un polinomio de grado 2 y este lo resolveremos por Bhaskara.

De esta manera vamos a obtener las otras dos raíces reales o darnos cuentas si estas son raíces imaginarias.

Esquema de Ruffini

Para resolver como dijimos anteriormente, vamos a ver como es el esquema de Ruffini; el cual lo tratamos en profundidad en otro micro-curso de la web.

Partimos de un polinomio de tercer grado y una raíz que llamaremos alfa conocida ya sea por la letra del ejercicio o bien porque sea una raíz evidente del polinomio.

raices polinomios tercer grado
Ecuación de grado 3

A forma de resumen te dejamos un esquema de como funciona Ruffini (no es otra cosa que dividir entre x-a donde a es la raíz conocida del polinomio)

Esquema de Ruffini Profeonline PROFE online ecuación de Tercer Grado ecuaciones
Esquema de Ruffini

Con estos nuevos valores de los coeficientes resultantes A,B y C se arma el polinomio de segundo grado que contiene a las otras dos raíces del polinomio.

El polinomio resultante queda entonces:

\dpi{120} \LARGE P(x)=Ax^{2}+Bx+c

El cual resolvemos por Bhaskara para determinar las otras dos raíces.

Raíces evidentes de un Polinomio de Tercer Grado

Como dijimos anteriormente una forma de conocer una raíz del polinomio es verificar si este tiene raíces evidentes o no.

Para esto vamos a aplicar algunos de los siguientes tres métodos:

Partimos de una ecuación de tercer grado de la siguiente forma

raices polinomios tercer grado
Ecuación de grado 3

Raíz evidente 1 de una ecuación de tercer grado:

Si la suma de todos los coeficientes del polinomio da cero entonces el polinomio tiene raíz 1; es decir si a+b+c+d=0

Vamos a ver un ejemplo de una ecuación de tercer grado que tenga la raíz evidente 1; el ejemplo es el siguiente:

Polinomio con Raíz evidente 1
Polinomio con Raíz evidente 1

Entonces 2+5-3-4=0 por lo tanto el polinomio tiene raíz 1.

Raíz evidente -1 de una ecuación de tercer grado:

si la suma de todos los coeficientes de grado par es igual a la suma de los coeficientes de grado impar; entonces el polinomio tiene raíz -1; es decir si a+c = b+d.

Ahora veremos un ejemplo de un polinomio de tercer grado que tenga la raíz evidente -1; el ejemplo sería el siguiente:

ecuación de tercer grado con raiz evidente -1
Polinomio con Raíz evidente -1

Raíz evidente 1 de una ecuación de tercer grado:

Si el término independiente d es 0; es decir no tiene término independiente entonces tiene raíz 0

Un ejemplo de una ecuación de tercer grado que posea una raíz evidente 0; el ejemplo sería el polinomio a continuación:

Ecuación de tercer grado con raiz evidente cero
Ecuación de grado 3 con raíz evidente 0

Entonces; como vemos en este caso y en todos los casos de ecuaciones de Tercer Grado que no tienen término independiente; tienen raíz cero.

Ecuaciones de Tercer Grado Incompletas

Hasta ahora hemos visto la resolución de polinomios de tercer grado completos; es decir que tenían coeficientes distinto de cero para todos los términos del polinomio.

Ahora vamos a ver algunos casos particulares de polinomios incompletos, a los cuales les falta algún término; o lo que es lo mismo decir sus coeficientes valen cero.

Ecuación sin término independiente

Este caso ya lo vimos anteriormente cuando vimos las raíces evidentes de una ecuación. Como ya sabemos tiene raíz cero y procedemos a sacar una x de factor común; y lo que queda multiplicando a x es un polinoio de segundo grado que resolvemos por Bhaskara

Ejercicio 1 Resuelto:

Tenemos que resolver el siguiente polinomio:

Ecuación de tercer grado sin término independiente con raiz evidente cero 0
Ecuación grado 3 sin término independiente

El primer paso es sacar de factor común la x ya que al no tener término independiente todos los términos están multiplicados por x. La ecuación queda de la siguiente manera:

\dpi{120} \LARGE P\left ( x \right )= (x^{2}-x-6)\times x=0

En el paréntesis aplicamos Bhaskara para hallar las otras 2 soluciones:

\dpi{120} \large \frac{-(-1)\pm \sqrt{1-(4\times 1\times \left ( -6 \right )})}{2\times 1}

Esta cuenta nos da las otras dos soluciones de la ecuación; las cuales son -2 y 3. Por lo tanto las tres soluciones del problema original son -2, 0 y 3.

Ecuación de Grado 3 solo con término principal y término independiente

En este caso nos planteamos la resolución de una ecuación de tercer grado que poseen tan solo el término principal y término independiente.

Vamos a resolver el siguiente ejemplo:

\dpi{120} \large P\left ( x \right )=x^{3}-8

En estos casos vamos a realizar un sencillo despeje que desarrollamos a continuación:

\dpi{120} \large x^{3}-8=0

\dpi{120} \large x^{3}=8

\dpi{120} \large x=\sqrt[3]{8}

\dpi{120} \large x=2  es la solución de la ecuación planteada anteriormente.

Además cabe destacar que las otras dos soluciones; en este caso; son soluciones imaginarias.

Cómo Factorizar Polinomios de Tercer Grado?

Cuando queremos factorizar un ecuación de tercer grado; lo que vamos a hacer dicho en otras palabras es descomponer la ecuación en sus factores.

Además; vamos a plantear como un multiplicación que si la desarrolláramos obtendríamos el polinomio general del cual partimos en el comienzo del ejercicio.

Para ver esto un poco más claro vamos a plantear a continuación como sería la forma de un polinomio expresada con su fórmula general y vamos a llevarla a su expresión factorizada.

Fórmula general del polinomio de grado 3

Formula general de un plinomio de grado 3

Suponiendo que conocemos sus tres raíces (si las tuviera) y la llamamos alfa, beta y gama a cada un la descomposición factorial del polinomio de grado tres quedaría de la siguiente manera:

Formula factorizada de un plinomio de grado 3

Esta sería entonces la expresión del mismo polinomio pero en su forma factorizada.

Polinomios de tercer grado a partir de gráfica 【✌】

Ejercicio 1 Parte 1

Ecuaciones de tercer grado a partir de gráfica

Ecuaciones de Tercer Grado Ejercicio 1

Hola ¿cómo están?

Estamos en otro vídeo de Profeonline.uy, en este caso toca matemáticas y vamos a resolver un ejercicio que es construir una función polinómica a partir de su gráfico.

Tenemos en este caso un gráfico de una ecuación polinómica y un dato más es que f de 2 vale 504.

Valor funcional es el valor de la función cuando x=2; f(2)=504

Es decir que con esos datos nosotros vamos a tener que poder construir la función.

¿qué es lo que vamos a hacer siempre en estos casos? es plantearnos la fórmula de la descomposición factorial en este caso como tiene tres raíces va a ser un polinomio de tercer grado y es el coeficiente principal por x menos cada una de sus raíces.

Podría haber sido este caso que sea un polinomio tercer grado, también es dato del ejercicio, porque podría ser una raíz triple y tener una coincidencia con este gráfico, pero, o sea en forma genérica pero en este caso es un polinomio de tercer grado tiene tres raíces como podemos ver diferentes las planteamos de esta manera y lo que vamos a hacer ahora es ir sustituyendo por los datos que tenemos

¿Que cuáles son? una de las raíces es menos 5, o sea que x menos -5 por x -6 que es la otra raíz y la otra raíz es -8.

De esta manera me queda planteado el polinomio o ecuación de tercer grado.

Siguiente dato es que f de 2 vale 504, efe de 2 es sustituir cada uno de los valores 2 – 6, 2 – 8 igual a 504, entonces nos quedaría a por 7 x menos cuatro, por menos seis igual a 504, esta cuenta 7 x 6 es 42, 42 x 4 me va a dar 168 igual a 504 y pasamos dividiendo 504 sobre 168 y esto me va a dar 3, o sea que a vale 3.

Con ese valor de a lo colocamos aquí y tenemos completa ecuación.

Ahora puede ser que me pidan que escriba el polinomio desarrollado y simplificado, es decir, voy a tener que empezar a hacer las distributiva, vamos a empezar haciendo estas dos últimas 3 por x +5, estos dos los voy a dejar para el final y voy a hacer esta por esta, y me va a quedar x cuadrado menos 14x + 48 queda 14x porque hago menos 6x menos 8x menos 14 x, x por x es x cuadrado y los números generan este valor.

Ahora hago la distributiva con el x y me queda x por x2, x3, x por menos 14x menos 14 x2, x por 48 más 48x, con el 5, 5×2, 5 x 14 me va a dar menos 70x y 5 por 48 me va a dar 240.

Entonces fx sería, vamos multiplicando por tres y agrupando 3x a la 3, – 14×2 + 5×2 me va a dar menos 9×2, por 3 menos 27×2, en las x 48 menos 70 me va a dar menos 22 por 3 menos 66x, y el término independiente que es 240 por 3 me va a dar 720.

De esta manera logro tener el polinomio completo simplificado que era lo que me pedía, a partir de la ecuación, perdón,

A partir de la gráfica determinar la ecuación polinómica.

Este ejercicio tiene muchas variantes, muchas cosas, que les dejamos repartidos y más vídeos, para que ustedes lo puedan entender mejor, cualquier duda nos las hacen llegar a través de nuestras redes sociales profeonline.uy en Facebook y en Instagram y también no te olvides de suscribirte al canal, activar la campanita así no te perdés ningún ejercicio de los que estamos subiendo permanentemente.

Asique ya lo sabes, suscribíte y nos estamos viendo en el próximo ejercicio, hasta luego.

Polinomios de grado 3 a partir de gráfica

Ejercicio 1 Parte 2

Segunda parte del ejercicio que venimos trabajando.

Ecuaciones de Tercer Grado a partir de gráfica Ej 1 Parte 2

Hola ¿cómo están?

Estamos en otro vídeo de profeonline.uy en este caso en matemática con la segunda parte del ejercicio que teníamos en la parte anterior, que le dejamos el vídeo por acá, no se olviden vayan y mírenlo si no lo vieron, porque si no no van a entender esta parte. Nos daban la gráfica y este dato y nosotros tuvimos que concluir que el ejercicio era esta la solución, o sea tuvimos que armar el polinomio.

Vamos a resolver la parte b que es calcular el signo de este polinomio o mejor dicho resolver la inecuación de la función cuando la función es menor o igual a 0, es determinar para qué valores la función es menor o igual a 0.

【 Determinar el signo de una función es determinar para que valores de x el resultado es positivo y para que valores es negativo 】

En un ejercicio donde nos hubiesen dado esto; nosotros lo que teníamos que hacer era calcular las raíces y empezar desde la derecha con el signo del coeficiente principal.

Pero, en este caso nosotros ya tenemos la función y cuando tenemos la función para resolver la parte b y hacer el signo de fx; el signo positivo es cuando la función esta graficada por encima del eje y; el signo negativo es cuando la función esta graficada por debajo del eje.

Entonces ahora vamos a anotarlo con otro color y vamos a ver como esta parte de aquí que está entre el 6 y el 8 y esta parte que queda hacia este lado del -5, de la función son las partes graficadas por debajo del eje x y que van a ser las funciones, mejor dicho la parte de la función que tiene signo negativo.

Seguimos con la transcripción del ejercicio de Polinomios o Ecuaciones de Tercer Grado

Es decir el -5 era una de las raíces, el 6 y el 8 eran las otras raíces, y vemos que del -5 hacia la izquierda la función es negativa es esta parte de aquí, vamos a decir, vamos a poner la línea en azul que es la parte que tenemos por acá y que marca que la función está por debajo eso significa que si nosotros hiciéramos la cuenta con un valor por acá su resultado en el eje y me da un valor negativo, por eso tiene signo negativo.

Después entre menos 5 y 6 la función toma valores positivos eso quiere decir que si por ejemplo hiciésemos el f de 0 acá vemos que es el punto de corte con el eje y el resultado es positivo porque esta graficado por encima del eje x que es donde están los positivos del eje y, recuerden que este es el 0, mientras que entre 6 y 8 la función toma valores negativos vamos a ponerla en azul y el signo negativo y a partir del 8 vuelve a estar graficada por encima y da positivo. En los puntos 8, 6 y menos 5 que les llamábamos raíz de la función esta función toma valor 0.

Quiere decir que f de 6 vale 0, que f de 8 vale 0, que f de 7 es negativa, yo puedo afirmar con esto que f de 7 es menor que cero porque su resultado va a ser un número negativo en el eje y.

Además la importancia que tiene de saber calcular el signo de un Polinomio y de saber interpretarlo.

En la parte c nos pide el signo de una división donde es la función f de x dividido la función menos x más 6, y determinar la inecuación cuando esto es mayor que 0.

Para eso tenemos que poner el signo de fx que ya lo tenemos calculado en la parte anterior, -5 venía negativo, 0 cambiaba a positivo hasta el 6, de entre el 6 y el 8 era negativo y del 8 en adelante cambia a positivo, mientras que el signo de -x +6 vamos a ver la raíz, hacíamos menos x + 6 igual a 0 eso quiere decir que equivale 6, la raíz es 6 y desde la derecha con el signo del coeficiente principal, negativo en este caso 0 + a partir de aquí.

Calculo del signo de la división

Si yo quiero hacer el signo de fx sobre menos x más 6 voy a juntar los dos signos, me conviene trazar una línea para no perderme, en el 8, en el 6 y en el -5 y más con menos es menos, menos con menos es más, más con más es más y menos con más es menos.

Ahora 0 el numerador, 0 en el numerador, pero en este caso hay un 0 en el denominador y por lo tanto decimos que en ese punto la función no existe, y observamos, que, le llamaríamos a esta función una raíz doble, porque es una raíz del numerador y denominador y el signo no cambia, porque en realidad como que cambiaría dos veces y volvería a ser lo mismo como nos pedían que fuese mayor estricto que cero la solución va a ser desde el menos 5 hasta el 6 y desde el 6 hasta el 8, es decir, que la solución son los equis que pertenecen a los reales tales que x pertenece al intervalo –5, 6 unión el intervalo 6,8

De esa manera tenemos resuelta la solución de las partes b y c de este ejercicio que es un ejercicio bastante completo donde partimos de un gráfico de una función polinómica de tercer grado y terminamos construyendo su signo y el signo de una división con otro polinomio.

▶️ ECUACIONES o POLINOMIO de 3 Grado a partir del Gráfico

✅ Descomposición Factorial

Hola que tal, como están estamos en otro vídeo de profeonline.uy

En este caso con el curso de polinomios de tercer grado y en este ejercicio en específico con la determinación de un polinomio a partir de una gráfica.

Generalmente un polinomio el tercer grado tiene tres raíces reales y distintas; es decir corta tres veces al eje X.

La raíz de un Polinomio de tercer grado es el punto de corte con el eje X

Esto ya es un dato importante y el otro dato es el punto de corte con el eje y ; ya que sabemos que el término independiente va a ser igual a ese valor o sea efe de cero pero también lo vamos a utilizar para determinar el coeficiente principal.

Porque la clave para resolver polinomios de tercer grado a partir de una gráfica dada; es plantearnos el polinomio en su descomposición factorial.

Es decir que la ecuación de tercer grado polinómica va a ser por x menos alfa por x menos beta por x menos gama donde a es el coeficiente principal del polinomio mientras que alfa, beta y gamma van a ser cada una de las raíces.

En este ejemplo los puntos de corte de la ecuación de Tercer Grado con el eje x son -2, 1 y 3.

Van a ser los valores de alfa beta y gamma; vamos a plantear ya con los valores que tenemos por ahora lo dejamos como a alfa es menos 2 o sea que va a ser x menos 2 por equis menos 1 por equis menos 3 donde si ordenamos un poquito.

Además sabemos que el punto de corte con el eje y es en x=0; calculamos efe de 0 por 2 por 1 o por 3 y lo igualamos al punto de corte con el eje esto nos va a dar 12.

Por cada cortaban el 2 con lo que dos por menos uno por menos 3 o sea que hay 6 a por 6 el 12 con lo cual a vale 2 una vez que tenemos el valor de a calculado nos planteamos el polinomio.

Planteamos la descomposición factorial

Comenzamos o sea esta es la descomposición factorial primera expresión que tenemos de la ecuación de tercer grado; o función polinómica del tercer grado lo que vamos a ver ahora es como pasaba a la forma desarrollada.

La actuación general que está haciendo la distributiva entonces primero con el 2 deba quedar 2x + 4; o las distributivas son con respecto a una suma o una resta; quiere decir que las otras multiplicaciones que existen

Ahora procedemos a la siguiente multiplicación podemos tomar cualquiera de ellos porque la multiplicación es asociativa; es decir puedo hacer este por este o el té por lo que no tengo que hacer es este por éste y éste por una distributiva no pero como multiplicar estos dos entre sí me queda x cuadrado menos 1 por (x – 3)

Una cosa cuando tenemos estos antes de seguir con las multiplicaciones nos va a convenir disminuir o sea juntar todos los términos reducir el polinomio para que no nos quede en tantas cuerpos una vez que hagamos eso pasamos a hacerla distributiva.

La distributiva se realiza sobre la suma o la resta no dentro de un término

Y me queda 2 x 3 menos 8 x 2 + 6 x + 4 x 2 – 16 x + 2 finalmente hacemos la reducción del polinomio y me queda 2 x 3 menos 4 x 2 los términos en x serán 4x y 16 x 16 venía de 4x x menos 4 x entonces 6 x menos 16 x menos 10 x y como término independiente como ya sabíamos nos tiene que dar 2 entonces es la ecuación del polinomio del tercer grado que determinamos a partir de su gráfica fundamental el planteo de la descomposición factorial del polinomio.

El término independiente de las ecuaciones de Tercer Grado es f(0)

Y vieron que el término principal del polinomio que 22 tal cual era lo que habíamos despejado aquí es decir que sea son pautas que nos llevan a determinar si las cuentas que hicimos eran correctas o no.

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Por tanto, nos vemos en el próximo ejercicio. Chau

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