Curso GRATIS de Integrales

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Que es integrar o cálculo Integral?

El concepto de integración es fundamental en el cálculo y en el análisis matemático. Sencillamente, una integral es una generalización de la suma de infinitas áreas de rectángulos sumados; infinitesimalmente pequeños; por lo cual una suma continua. Como operación la integral es la inversa a la derivada.

Podemos afirmar que el cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación.

Es muy utilizado en la ingeniería y en el resto de la ciencia; principalmente para el cálculo tanto de áreas como de volúmenes; además de regiones y sólidos de revolución.

CÁLCULO INTEGRAL

Cálculo de áreas Aritméticas

Cuando realizamos el cálculo de la integral el hecho de hablar de áreas aritméticas implican 2 cosas;

2- Si la función está graficada por debajo del eje OX el valor del área es negativa.

1- El área calculada es entre el eje OX y la función

2- Si la función está graficada por debajo del eje OX el valor del área es negativa.

Relación entre el área y la Integral

Para ver esta relación vamos a calcular el área entre una gráfica sencilla, una recta y el eje x.

Primero lo hacemos con los métodos tradicionales porque es una figura regular y luego lo hacemos aplicando Barrow y el cálculo integral.

Cálculo del Área de la Curva bajo la Gráfica

Hola cómo están?

Bienvenidos al curso de integrales de Profeonline.uy

En este curso vamos a ver el cálculo integral desde cero. ya venimos aprendiendo a calcular, a derivar y en este caso vamos a comenzar a integrar es decir, la integral es una función matemática que me permite calcular el área que hay entre una función y el eje x.

Diciéndolo no tan técnicamente es un área matemática, eso quiere decir que por encima del eje x se van a generar áreas positivas y por debajo áreas negativas, en este curso vamos a aprender en primera instancia a calcular las primitivas y después;

mediante la Regla de Barrow

evaluarlas entre los dos extremos de integración para saber el valor de la integral pero antes de hacer eso que es un cálculo matemático debemos aprender a calcular las derivadas. Bien ahora vamos a pasar al pizarrón a calcular una integral para tener una noción de qué significa la integral más allá de que apliquemos la regla de Barrow,

De que apliquemos alguna primitiva eso lo vamos a aprender en ejercicios más adelante pero en primera instancia y

Es fundamental saber ¿para qué nos va a servir?

Entonces si nosotros por ejemplo tenemos una función qué es la recta Y = 2x, y queremos saber el área que hay entre 0 y 3,

Es decir, va a ser el área de este triángulo, esta función seguiría porque es una recta que continúa pero me interesa el área que hay bajo la función entre el eje x y la función entre 0 y 3; el cálculo de esa área que nosotros ahora vamos a calcular porque como esto es un triángulo evaluamos la función en 3.

Por lo tanto, en 3 sería 2 por 3= 6, o sea que la función en este caso vale 6 y el área me queda un triángulo de 6 de altura y 3 de base por lo tanto el área que existe en ese caso es seis, base por altura sobre dos, es decir, que me da nueve.

Ese es el cálculo que nosotros haríamos si esto es un triángulo común y corriente ahora esto se iría a complicar cuando sean función es logarítmica, exponenciales, polinomio de tercer grado y otro caso entonces para eso necesitamos una integral, o sea, que un cálculo integral lo vamos a hacer con esta función para verificar que nos dé el mismo resultado.

En este caso la integral sería entre 0 y 3 de la función 2x diferencial x.

Lo que vamos a hacer en este caso es hacer la primitiva de 2x que sería ver cuál es la función cuya derivada es 2x, va a ser x cuadrado más una constante de integración que como vamos a aplicar la regla de Barrow, que vamos a ver más adelante, entre 0 y 3 en este caso no la vamos a utilizar.

Esto significa valuar primero en 3, 3 al cuadrado y después en 0, 0 al cuadrado y esto me queda 3 al cuadrado 9 menos 0 al cuadrado, quiere decir que el área que queda por debajo de la función 2x entre 0 y 3 vale 9 que era lo mismo que habíamos calculado en el caso de los triángulos.

Atención a esto

Claro, si fueran funciones que pasan por encima y por debajo del eje x eso nos complicaría y si son funciones que no son rectas o que no quedan figuras geométricas regulares también nos complicarían, de ahí la importancia que tiene el cálculo integral pero fundamentalmente en esta primera clase era saber ¿cómo lo vamos a hacer y qué es lo que estamos calculando cuando calculamos una integral?

Así que a estudiar, a repasar y nos vemos en el próximo ejercicio. Chau

Para poder integrar una función el primer paso es integrar, para eso vás a necesitar la:

Tabla de Primitivas

$Tabla de Integrales Primitiva de un Polinomio$
$\ int e ^ {ax + b} dx = \ frac {1} {a} e ^ {ax + b} + c$
$\int sen(x)dx=-cos(x)+c$
$\int cos\left ( x \right )dx= sen(x)+c$
$\ int \ frac {1} {x ^ {2} +1} dx = arctg (x) + c$

Integrales de Polinomios

Primitiva de Polinomios

Hola cómo están?

Estamos en otro vídeo del curso de integrales de Profeonline.uy

En este caso vamos a comenzar con el

Cálculo de integrales polinómicas.

Es decir vamos a empezar con algunos de los ejercicios que están en el repartido, que tenés en la página web Profeonline.uy para descargar y poder ir haciéndolos.

Y corroborarlos con los ejercicios que estamos publicando resueltos en vídeo tanto nuestro canal de Youtube como nuestra página web de Facebook o en Instagram tv en nuestro perfil de Instagram, así que Profeonlineuy en Facebook o en Instagram y el canal de Youtube así que te esperamos por ahí descárgate el archivo.

Asique vamos ahora a proceder al

Cálculo de integrales polinómicas

Para eso antes vamos a ver cuál es la primitiva de un polinomio.

Vamos anotar por acá la primitiva de un polinomio x a la n es x a la n + 1 sobre n +1, es decir; que aumenta un grado el polinomio y ese valor del nuevo grado queda dividiendo.

Si solamente calculamos una primitiva esto va a quedar con una constante de integración pero si aplicamos la regla de Barrow.

Este era la integral entre A y B de una función es igual a su primitiva valuada entre A y B como la constante iría F de B – F de A y las dos veces sumaría la constante se restarían y se anulan, por eso directamente no se pone pero no es que no pertenezca a la primitiva.

Ejercicio 1

Vamos a proceder al ejercicio 1 que era la integral entre 0 y 1 de x al cuadrado, entonces x a la 2, el n es dos, me va a quedar x a la 3 sobre 3.

x a la 3 sobre 3 y como tengo límites de integración no voy a poner la constante y voy a valuar entre 0 y 1; luego hago el cálculo en 1; el cálculo en cero y el resultado de la función es un tercio.

Sí, es decir, aplicamos estas propiedades al cálculo que estamos realizando.

Si tenemos como en el ejercicio 2 una integral entre 2 y 3 de 3x cuadrado de diferencial x, es decir, que es una constante por, en realidad genéricamente cualquier constante por una función se puede sacar del área de integración hacia afuera de la integral.

Queda multiplicando o si está dividiendo queda multiplicando por el inverso o dividiendo a la integral pero no participa o no lo podemos hacer participar en el cálculo de la integral.

Ésto sería 3 por la integral entre 2 y 3 de x a la 2 lo cual me queda 3, la primitiva de x a la 2, es 2 + 1 = 3 / 3 entre 2 y 3; en estos casos siempre nos conviene simplificar antes de calcular,

por qué?

Porque como vamos a tener que calcular es mucho más fácil que andar multiplicando y haciendo cuentas demás y nos queda una cuenta más simple.

Esto es 3 a la 3 menos dos a la 3 lo cual me da 27 menos 8 me da 19, ese es el valor de la integral del ejercicio 2 donde nos pedían calcular la integral entre 2 y 3 de una función polinómica; en realidad, en estos casos vimos de monomios, que son los dos primeros ejercicios; en el próximo capítulo de este ciclo de integrales vamos a ver cuando tenemos suma de funciones, entonces vamos a aplicar la suma de funciones y ahí sí vamos a hacer el cálculo de polinomios.

Asique a estudiar a practicar bastante y nos vemos en el próximo ejercicio. Chau