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En este curso veremos desde los conceptos básicos; hasta conceptos avanzados que permitan realizar los cálculos necesarios de parciales y exámenes.
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Ejercicios de MATRICES – Operaciones con MATRICES
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Suma, resta y multiplicación de Matrices
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Determina si las matrices siguientes tienen inversas, en caso de ser invertible calcular la inversa de la matriz correspondiente
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Sea F(L,K) una función de producción homogénea de grado 1, se sabe que F(100,40) = 300 y que FL (100, 40) = 1 (productividad marginal del trabajo) y FK (100, 40) = 5 (productividad marginal del capital). Por su parte, denotemos y definamos la productividad media del trabajo como
a. Determine si PMe (L;K) es homogénea y, en tal caso, de qué grado.
b. Calcular
Ejercicio 7
Dada la función f(x; y) = xy – x3 – y2.
a. Determine los puntos críticos definidos en el conjunto R2.
b. Clasifique los puntos críticos definidos en el conjunto R2 y justifique si se trata de un máximo/mínimo local.
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Utiliza la matriz hessiana para determinar si las siguientes funciones son cóncavas, convexas, estrictamente cóncavas, estrictamente convexas o ninguna de éstas:
a) f(x,y) = ax2 + by2 , donde a, b < 0
b) f(x,y) = ln(xy)
Ejercicio 11
Una empresa produce un bien usando dos insumos. Su función de producción es Q(x1,x2) =3x11/3 x2 1/3 donde x1 es la cantidad que la empresa usa del insumo 1 y x2 la cantidad que usa del insumo 2. EL precio al que vende el producto es igual a 1. El precio del insumo 1 es igual a p1 y el precio del insumo 2 es igual a p2.
a) Tiene la empresa retornos constantes, crecientes o decrecientes a escala? Fundamente su respuesta obteniendo el grado de homogeneidad de la función de producción. De ahora en más suponga que el gobierno obliga a la empresa a usar exactamente 1000 unidades del insumo 1.
b) Determine si la función de producción es cóncava o convexa en el insumo 2. Exhibe la función de producción retornos marginales crecientes o decrecientes en el insumo 2? Explique brevemente su respuesta.
c) Plantee el problema de la empresa que desea maximizar beneficios especificando la restricción que enfrenta la misma. (Ayuda: no reemplace las 1000 unidades del insumo 1 en la función de producción)
d) Escriba el Lagrangiano considerando la restricción que enfrenta la empresa. Utilice la letra λ para el multiplicador de Lagrange.
e) Obtenga las condiciones de primer orden respecto a x1, x2, λ y determine los valores óptimos de estas variables
Ejercicio 12
Dada las siguiente funciones:
a. f(x,y) = ln(xαyβ )
b. F = eQ donde Q(x; y) = Axαyβ ; y α + β ≠ 0
Para cada una de ellas se pide:
i. Demuestre si la función es homogénea y, en este caso, el grado de homogeneidad de la misma.
ii. Veri que que la función satisface el teorema de Euler.
Ejercicio 13
Utilizar la matriz hessiana para determinar si las siguientes funciones son cóncavas, convexas, estrictamente cóncavas, estrictamente convexas o ninguna de éstas:
i. f(x, y) = (x + y)2.
ii. f(x, y) = x + y – ex – e(x+y).
Ejercicio 14
Sea U = f(x1, x2, t) donde x1 = f1(t) y x2 = f2(t, w).
i. Hallar la expresión del diferencial total de U y la expresión del cambio de U ante cambios en t.
ii. Aplicar el resultado anterior a f(x1, x2, t) = e-2t ln(x1x2).
Ejercicio 15
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = uv
xy = u – v
i. Determine bajo que condiciones el sistema anterior definen implícitamente a x y v como funciones diferenciables de u e y.
ii. Utilice el teorema general de la función implícita para encontrar las derivadas parciales
en caso que las condiciones del apartado anterior sean satisfechas.
Ejercicio 16
Dada la siguiente función, clasificar el valor extremo de f(x, y) = -2x + 2y sujeto a la restricción y – ln x = 1.
Si f* denota el valor óptimo de f, aproximar el cambio en f* si la restricción fuera y – ln x = 1.15. Explique.
Ejercicio 17
Considere el siguiente problema de minimización
min(x – 4)2 + (y – 4)2 sujeto a x + y ≤ 5 donde x, y ≥ 0
i. Escriba el lagrangeano de este problema usando la formulación de Kuhn-Tucker.
ii. Obtenga las condiciones de Kuhn-Tucker asociadas al problema de optimización anterior.
iii. Dibujar la región factible y algunas curvas de nivel de la función f.
iv. BONUS. Usar la información de los apartados anteriores para obtener la solución óptima.
Ejercicio 18
La función de demanda de un bien es D(p, y), donde p es el precio del bien e y es el ingreso agregado de los consumidores. La función de oferta del bien es S(p).
a. Escriba matemáticamente la función de exceso de demanda E(p, y) (esto es demanda menos oferta).
b. Escriba la condición de equilibrio del mercado usando la expresión E(p, y) que encontró en el apartado anterior.
De ahora en más suponga que
c. Usando la expresión del apartado (b), demuestre que puede usar el teorema de la función implícita y escribir el precio de equilibrio como función del ingreso de los consumidores. Esto es: p* = f (y)
d. Use el teorema de la función implícita para obtener la siguiente estática comparativa:
Bajo que condiciones es su resultado positivo (negativo)? Explique los resultados obtenidos desde un punto de vista económico
Ejercicio 19
Ejercicio 20
El gerente de una empresa recibe un pago anual igual a la suma de (i) un salario anual fijo igual a w y (ii) una fracción β ∈ (0,1) de los beneficios anuales de la empresa π(e) que dependen de su nivel de esfuerzo, e ≥ 0. En resumen, para un e determinado, el gerente recibe: w +βπ(e)
El costo para el gerente de realizar esfuerzo depende de su habilidad a ≥ 0 para realizar su tarea. Un valor más alto para a indica que el gerente es más apto para realizar su labor. En resumen, el costo del esfuerzo es: c(e,a).
El gerente desea maximizar su utilidad, la cual es igual al pago anual que recibe menos el costo de su esfuerzo.
a. Escriba la función de utilidad del gerente, u(e,w,β,a).
b. Plantee el problema que debe resolver el gerente. Identifique los parámetros del modelo y la variable de control.
c. Obtenga la condición de primer orden e interprete la misma en términos económicos.
d. Imponga la/s condición/condiciones que crea conveniente para que la condición de primer orden sea suficiente.
