Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables

Contenidos

En este curso de Cálculo diferencial e integral con funciones de varias variables, trataremos diferentes temas, ajustando estos al los temas tratados en el curso de Cálculo DIVV de la Facultad de Ingeniería.

Los temas a ser tratados en el curso son los siguientes:

Números Complejos, Ecuaciones diferenciales, Sucesiones, Series; Integrales Impropias, Topología en Rⁿ, Límites, Continuidad, Diferenciabilidad.
Regla de la Cadena, Integrales de funciones de Varias Variables, cambios de variables a polares y lineales en R²; Cambio de variables en R³ esféricas, cilíndricas.

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Números Complejos

Ejercicio 1 -Calculo DIVV

Números complejos, forma binómica, cartesiana y polar

En este ejercicio veremos que son los números complejos, y sus diferentes notaciones, binómica, cartesiana y polar.

Calculo DIVV – Ejercicio 2

Operaciones con números complejos

En el siguiente vídeo veremos como se realizan las operaciones más comunes con los números complejos.

Calculo DIVV – Ejercicio 3

Raíces y potencias de números complejos en notación polar

Ecuaciones Diferenciales

Calculo DIVV – Ejercicio 4 Ecuaciones diferenciales

Resolver:

y₁ = y + 1

Calculo DIVV – Ejercicio 5 Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales a variables separables

Resolver

y´= 3t² + y² 3t²

Calculo DIVV – Ejercicio 6 Ecuaciones diferenciales

Resuelve

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Calculo DIVV – Ejercicio 7 Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales con cambio de variable sugerido

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Calculo DIVV – Ejercicio 8 Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Resuelva

Integrales Impropias

Calculo DIVV – Ejercicio 9

Integrales Impropias de Primera Especie

Introducción al cálculo de Integrales Impropias de Primera Especie, características y procedimiento de cálculo de las mismas

Calculo DIVV – Ejercicio 10

Criterios de comparación para la clasificación de integrales impropias

Calculo DIVV – Ejercicio 11

Criterio de la armónica

Calculo DIVV – Ejercicio 12

Criterio de comparación

Calculo DIVV – Ejercicio 13

Criterio de comparación por paso al límite

Calculo DIVV – Ejercicio 14

Criterio del equivalente

Calculo DIVV – Ejercicio 15

Integrales impropias de segunda especie

Calculo DIVV – Ejercicio 16

Dominio de Funciones en Varias Variables

Calculo DIVV – Ejercicio 17

Determinar los dominios de las siguientes funciones de varias variables y representarlos gráficamente :

$\ LARGE f \ left (x, y \ right) = \ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}$

$\ LARGE f \ left (x, y \ right) = L (-xy)$

Cálculo de Límites en Varias Variables

Ejercicio 18

Demostración de No Existencia de un Límite; uso de Restricciones para la determinación de la inexistencia del límite dado.

Que son las restricciones y como se usan

Ejercicio 19 – Calculo DIVV

Hallar los siguientes límites, si existen:

Ejercicio 20 – Calculo DIVV

Determina si existe el valor del siguiente límite:

Ejercicio 21 – Calculo DIVV

Calcular el límite dado a continuación; en caso de no existencia probarlo, en caso de existir calcularlo:

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Ejercicio 22 – Calculo DIVV

Calcular el valor de los siguientes límites dados a continuación:

Ejercicio 23 – Calculo DIVV

Calcule los valores de los siguientes límites:

Continuidad en Varias Variables

Ejercicio 24 – Calculo DIVV

Determinar si la siguiente función es continua en (0,0)

Ejercicio 25 – Calculo DIVV

Determinar si las siguientes funciónes son continua en el punto de R² (0,0)

Determinar si una función es continua en un punto de R2

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Derivadas Parciales

Ejercicio 26 – Calculo DIVV

Ejercicio 27 – Calculo DIVV

Ejercicio 28- Calculo DIVV

Ejercicio 29- Calculo DIVV

Ejercicio 30- Calculo DIVV

Ejercicio 31- Calculo DIVV

Cálculo práctico de Derivadas Parciales

Ejercicio 32- Calculo DIVV

Calcular las derivadas parciales en (0,0) de:

\ LARGE f \ left (x, y \ right) = \ sqrt [3] {x ^ {3} + y ^ {3}}

Ejercicio 33- Calculo DIVV

Realizar las derivadas parciales en (0,0) de:

\ LARGE f \ left (x, y \ right) = \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}

Curvas de Nivel

Ejercicio 34- Calculo DIVV

Calcular las curvas de nivel y representarlas gráficamente de la función f(x)=x²+Y²

Acotaciones

Ejercicio 35- Calculo DIVV

Anotaciones para el cálculo de límites

Ejercicio 36- Calculo DIVV

Demostración de la siguiente acotación:

-\frac{1}{2}\leq \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}

Diferenciabilidad

Ejercicio 37- Calculo DIVV

Se considera la función

f\left ( x,y \right )= \sqrt{x^{4}+x^{2}\times y^{2}}

Estudie la diferenciabilidad de f en:
(a) (0; 0).
(b) (0; 1).

Ejercicio 38- Calculo DIVV

Funciones de variables calculo 2 diferenciabilidad ejercicios de examen resueltos

(a) Analice continuidad de f en (0; 0).

(b) Halle, si existen, las derivadas parciales de f en (0; 0).

Ejercicio 39- Calculo DIVV

(a) Analice continuidad de f en (0; 0).

(b) Halle, si existen, las derivadas parciales de f en (0; 0).

(d) Estudie diferenciabilidad de g : g(x; y) = x f(x; y) en (0; 0).

Integrales Dobles

Ejercicio 40 – Calculo DIVV

Calcular la integral doble de f(x,y) = x + y en el cuadrado de vértice (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)

Ejercicio 41 – Calculo DIVV

Calcular la siguiente integral doble en la siguiente región de integración dada

Ejercicio 42 – Calculo DIVV

Cambio de Variable Lineal

Sean f : f (x; y) = 5 + 6x + 2y y S el paralelogramo de vértices (1; 0); (3; 2); (2;3); (0; 1), calcular:

Ejercicio 43 – Calculo DIVV

\large f:f\left ( x,y \right )= \frac{1}{1+\left ( x-y \right )^{4}}

S el triángulo de vértices (1,0)(0,0)(0,-1) calcular la

\large \iint_{}^{}f\left ( x,y \right )dxdy

Ejercicio 44 – Calculo DIVV

Cambio de Variable a Coordenadas Polares

Sea $\large f\left ( x,y \right )= xy$ y el conjunto $\large S= \begin{Bmatrix} \left ( x,y \right )\epsilon \mathbb{R}^{2}:x\leq y;x^{2}+y^{2}-2y\leq 0 \end{Bmatrix}$ ,

calcular $\large \iint_{}^{}f\left ( x,y \right )dxdy$

Ejercicio 45 – Calculo DIVV

Sea $\large f\left ( x,y \right )=\frac{1}{\sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{3}}}$ ; y la región siguiente $\large S=\begin{Bmatrix} \left ( x,y \right )\epsilon \mathbb{R}^{2}:\; 0\leq y;\; 2\leq x+y\: ;\: x+2y\leq 4 \end{Bmatrix}$ ; determinar:

$\large \iint_{}^{}f\left ( x,y \right )dxdy$

Integrales Dobles Impropias

Ejercicio 46 – Calculo DIVV

Resumen de como encarar la resolución de las integrales impropias en varias variables.

Plantearemos las diferentes alternativas; además veremos cuando conviene hacer un cambio de Variable Lineal y cunado una cambio de variable a coordenadas polares.

También veremos que no necesariamente se necesitan los cambios de variables para resolver una integral doble impropia.