Cálculo 2 FCEA

Contenidos

Curso de Cálculo 2 donde básicamente trabajamos con Funciones de Varias Variables.

Dominio de Funciones en Varias Variables

Ejercicio 1 – Cálculo 2

Encontrar los dominios de las siguientes funciones y representarlos gráficamente :

$\ LARGE f \ left (x, y \ right) = \ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}$

$\ LARGE f \ left (x, y \ right) = L (-xy)$

Ejercicio 2 – Cálculo 2

Halle el dominio de definición de las siguientes funciones y grafíquelo:

Ejercicio 3 – Cálculo 2 – FCEA

Halle el dominio de definición de las siguientes funciones y grafíquelo:

Ejercicio 4

Estudio del dominio de funciones en varias variables de una división de funciones

Ejercicio 5 Domino y Curvas de Nivel

Dada las siguiente función g(x,y)

Determine su dominio y grafique las curvas de nivel para z = 0, z = 1, z = -1

Ejercicio 6 Curvas de Nivel

Estudio de las curvas de nivel de una función

Cálculo de Límites en Varias Variables

Ejercicio 7

Demostración de No Existencia de un Límite; uso de Restricciones para la determinación de la inexistencia del límite dado.

Que son las restricciones y como se usan

Cálculo 2 – Ejercicio 8

Hallar los siguientes límites, si existen:

Ejercicio 9

Halla el siguiente límite, si existe:

Ejercicio 10

Calcular el límite de la siguiente función de R² en R

Cálculo 2 – Ejercicio 11

Problema 12 – Cálculo 2

Calcular los límites de las siguientes funciones de varias variables con tendencias infinitas:

Ejercicio 13

Calcular los límites de las siguientes funciones de varias variables con tendencias infinitas:

Continuidad en Varias Variables

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Derivadas Parciales

Cálculo 2 – Ejercicio 16

Ejercicio 17

Problema 18

Cálculo -Ejercicio 19

Cálculo 2 – Ejercicio 20

Ejercicio 21

Cálculo de Derivadas Parciales por definición.

Introducción Teórica

Ejercicio 22

Calcular las derivadas parciales en (0,0) de:

$\ LARGE f \ left (x, y \ right) = \ sqrt [3] {x ^ {3} + y ^ {3}}$

Ejercicio 23

Realizar las derivadas parciales en (0,0) de:

$\ LARGE f \ left (x, y \ right) = \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}$

Función Implícita y Derivadas Parciales

Ejercicio 24

Calcular la derivada y’ de la función implícita y = f(x)

2.x³ + x² .y + y³ = 1

Ejercicio 25

Hallar $\large \frac{\partial z}{\partial x}\, \, y \,\, \frac{\partial z}{\partial y}$ de la función implícita $\large z=f\left ( x,y \right )$ :

Curvas de Nivel Cálculo 2 FCEA

Ejercicio 26

Calcular las curvas de nivel y representarlas gráficamente de la función f(x)=x²+Y²

Acotaciones

Ejercicio 27

Acotaciones para el cálculo de límites

Ejercicio 28

Demostración de la siguiente acotación:

$-\frac{1}{2}\leq \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}$

Diferenciabilidad

Ejercicio 29

Se considera la función

$f\left ( x,y \right )= \sqrt{x^{4}+x^{2}\times y^{2}}$

Estudie la diferenciabilidad de f en:
(a) (0; 0).
(b) (0; 1).

Ejercicio 30

Funciones de variables calculo 2 diferenciabilidad ejercicios de examen resueltos

(a) Analice continuidad de f en (0; 0).

(b) Halle, si existen, las derivadas parciales de f en (0; 0).

Ejercicio 31

(a) Analice continuidad de f en (0; 0).

(b) Halle, si existen, las derivadas parciales de f en (0; 0).

(d) Estudie diferenciabilidad de g : g(x; y) = x f(x; y) en (0; 0).

Funciones Compuestas

Ejercicio 32

Sean f : R² → R una función con derivadas parciales de segundo orden continuas tal que el polinomio de Taylor de segundo orden en (0; 0) es;

P(x , y) = 2x + 3y + 2x² – 2xy :
A partir de la función f se de finen:

g(x; y) = (f(x; y); f(x; y)) ; F(x; y) = f(f(x; y); f(x; y)) y K(x; y) = (f(x; y))2 :

(a) Deduzca f(0,0) , J_f (0; 0) y H_f (0,0).

(b) Halle la matriz jacobiana de g en (0; 0):

Polinomios de Taylor

Ejercicio 33

Polinomio de Taylor de primer orden

Ejercicio 34

Polinomio Taylor de segundo orden

Ejercicio 35

Desarrollo de polinomio de Taylor de segundo orden y su aplicación al cálculo de límites

Integrales Dobles

Ejercicio 36

Calcular la integral doble de f(x,y) = x + y en el cuadrado de vértice (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)

https://youtu.be/1CUOc5HEyl8

37 Ejercicio

Calcular la siguiente integral doble en la siguiente región de integración dada

https://youtu.be/2VNjRvjBlmo

Ejercicio 38

Cambio de Variable Lineal

Sean f : f (x; y) = 5 + 6x + 2y y S el paralelogramo de vértices (1; 0); (3; 2); (2;3); (0; 1), calcular:

Ejercicio 39

Sean $\large f:f\left ( x,y \right )= \frac{1}{1+\left ( x-y \right )^{4}}$ y S el triángulo de vértices (1,0)(0,0)(0,-1) calcular la $\large \iint_{}^{}f\left ( x,y \right )dxdy$

40 Ejercicio

Cambio de Variable a Coordenadas Polares

Sea $\large f\left ( x,y \right )= xy$ y el conjunto $\large S= \begin{Bmatrix} \left ( x,y \right )\epsilon \mathbb{R}^{2}:x\leq y;x^{2}+y^{2}-2y\leq 0 \end{Bmatrix}$ , calcular $\large \iint_{}^{}f\left ( x,y \right )dxdy$

Ejercicio 41

Sea $\large f\left ( x,y \right )=\frac{1}{\sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{3}}}$ ; y la región siguiente $\large S=\begin{Bmatrix} \left ( x,y \right )\epsilon \mathbb{R}^{2}:\; 0\leq y;\; 2\leq x+y\: ;\: x+2y\leq 4 \end{Bmatrix}$ ; determinar:

$\large \iint_{}^{}f\left ( x,y \right )dxdy$

Integrales Dobles Impropias

Ejercicio 42

Resumen de como encarar la resolución de las integrales impropias en varias variables.

Plantearemos las diferentes alternativas; además veremos cuando conviene hacer un cambio de Variable Lineal y cunado una cambio de variable a coordenadas polares.

También veremos que no necesariamente se necesitan los cambios de variables para resolver una integral doble impropia.

Ejercicio 43

Teórico sobre extremos relativos en R^d y resolución del siguiente ejercicio:

Sea f : f(x; y) = (1 – x² – y²)x² ; probar que f presenta en (0; 0) un mínimo relativo.

Ejercicio 44

Puntos críticos y puntos estacionarios de una función

Ejercicio 45

Criterio de Hess

Ejercicio 46

Teorema de Weierstrass

Ejercicio 47

Ejercicio Derivadas Parciales – Aplicaciones

Una compañía estima que el número de unidades que vende cada año es una función de los gastos destinados a la publicidad por televisión y por radio.

La función específica, donde ”z” es el número de unidades vendidas al año, ”x” los gastos de publicidad por televisión e “y” los gastos en publicidad por radio (ambos gastos en miles de dólares) es la siguiente:

z = f(x,y) = 50000x + 40000y + 10x² + 20y² + 10xy

a. Determine las ventas anuales esperadas si se destinan US$ 40000 a la publicidad por televisión y US$ 20000 a la publicidad por radio.

b. Halle cuánto crecerían las ventas si se destina US$ 1000 más en la publicidad por televisión.

c. Compare el resultado hallado en la parte anterior con fX(40,20), analizando entonces si la derivada parcial subestimó o sobrestimó dicho cambio.

d. Calcule fY(40,20) y analice, a partir de este resultado y de los ya calculados, si es mejor invertir US$ 1000 más en publicidad por radio que por televisión. Justifique.

Ejercicio 48

Derivadas Parciales – Aplicaciones

El precio de venta “p1” de una unidad del producto A, se puede expresar en función de la demanda de dicho producto “x” y de la demanda del producto B “y”.

De la misma manera el precio de venta “p2” de una unidad del producto B, se puede expresar en función de la demanda de dicho producto “y” y de la demanda del producto A “x”.

A continuación se presentan las funciones que indican esas relaciones:
p1 = -0,01x – 0,005y + 156 p2 = -0,02y – 0,005x + 79

La función de costo conjunto de estos dos artículos es la siguiente:
CT(x,y) = 55x + 25y + 10000

a. Halle la función de utilidad conjunta por las ventas de estos dos productos.

b. La utilidad total cuando se producen y venden 200 unidades de A y 300 unidades de B es 23600 ¿Un aumento unitario en las ventas de cuál de los dos productos produciría un mayor impacto en la utilidad en esta situación?

c. Halle, a partir de las derivadas parciales, cuál es la utilidad aproximada si se aumenta la producción a x = 201 e y = 301.

Ejercicio 49

Cálculo práctico de Derivadas Parciales

Ejercicio 50

Derivadas Parciales y Primitivas Parciales

Ejercicio 51

Sea f:R →R derivable, halle la forma genérica de las derivadas parciales de las siguientes funciones:

$\large g\left ( x,y \right )=f\left ( x^{2}-3xy^{2} \right )$
$\large g\left ( x,y \right )= f\left ( y-x^{2} \right )\times f\left ( 4-y \right )$
$\large g\left ( x,y \right )= f^{2}\left ( x^{2}y \right )$

Ejercicio 52

Se lanza un nuevo producto al mercado; el equipo encargado de su comercialización ha determinado que el volumen de ventas en miles de unidades depende del tiempo “t” (en meses) transcurrido desde el lanzamiento y de la cantidad mensual “x” invertida en publicidad (en dólares); de acuerdo con la siguiente ecuación:

a. Determine el tope de ventas que puede esperarse para el nuevo producto. Justifique.

b. Calcule las derivadas parciales de la función e interprete económicamente el signo de las mismas.

c. Calcule el valor de las mismas, a los 5 meses del lanzamiento del producto; si la cantidad invertida en publicidad es de 500 dólares. Interprete dichos valores.

Ejercicio 53

Ejercicio 54

Halle el dominio de definición de las siguientes funciones y grafíquelo:

Ejercicio 55

Halle el dominio de definición de las siguientes funciones y grafíquelo:

Ejercicio 56

Estudio del dominio de funciones en varias variables de una división de funciones

Ejercicio 57

Sea la función g /

Ejercicio 58

Estudio de las curvas de nivel de una función

Difernciabilidad y Diferencial

Ejercicio 59

Función Convexa

Ejercicio 60

Extremos con restricciones de desigualdad – Kun & Tucker

Ejercicio 61

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