Curso de Cálculo 1B

Contenidos

En este curso de Cálculo 1B vamos a presentar diferentes formas de encare del trabajo matemático; de manera que el estudiante pueda encarar la resolución de los ejercicios del curso sin inconvenientes favoreciendo de esta manera el aprendizajes de los contenidos matemáticos y sus aplicaciones.

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Anti derivadas.

DEFINICIÓN
Podemos definir a una función F(x) como una anti derivada de f(x) en un intervalo I si para
todo x que pertenece al intervalo.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejemplos de antiderivadas

Ejercicio 3

Límites de Sumas Finitas

Ejercicio 4

Sumas superiores e inferiores

Ejercicio 5

Cálculo de un área con sumas superiores e inferiores en una partición infinita

Integral definida y Reglas de Integración

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Reglas de integración

Teorema Fundamental del Cálculo

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Teorema de Sustitución

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ejercicio 13

Ejercicio 14

Teorema de Integración por Partes

Para aplicar el método de integración por partes lo que debemos hacer es distinguir una multiplicación de funciones (esto a nivel general); y buscar una función que sea más fácil de calcular su primitiva y derivar la otra función de forma que la integral que resulte sea más sencilla de calcular.

Para esto en los ejercicios siguientes veremos como son esas combinaciones que en general se resuelven aplicando este método de integración por Partes

Teorema de Integración por Partes

$Teorema de Integración por Partes$

Teorema de Integración por Partes – PROFEonline.uy

Ejercicio 15

Método de Integración por Partes

Ejercicio 16

Segunda Parte Integración por Partes

Ejercicio 17

Integración por Fracciones Simples

CÁLCULO de INTEGRALES por Fracciones parciales

En el cálculo de integrales de funciones las cuales son cocientes de polinomios de la forma siguiente:

$\large \int \frac{P(x)}{D(x)}\; dx$ debemos comparar los grados de ambos polinomios:

Pueden presentarse dos casos:

Si el grado del numerador P(x) es mayor o igual que el grado del denominador D(x); primero debemos dividir los polinomios obteniendo un cociente Q(x) y un resto R(x) y planteamos lo siguiente; $\large \int \frac{P(x)}{D(x)}\; dx= \int Q(x)+\int \frac{R(x)}{D(x)}\; dx$ donde en esta última integral planteamos fracciones simples
Si el grado del numerador P(x) es menor que el grado del denominador D(x); entonces aplicamos directamente el método de fracciones simples.

Método de Separación en Fracciones Simples

Separar en fracciones simples un cociente de polinomios consiste en lo siguiente:

$\large \int \frac{P(x)}{D(x)}\; dx$ vamos a realizar los siguientes pasos

Calculamos todas las raíces del divisor D(x) y planteamos su descomposición factorial como hemos aprendido en años anteriores. Pueden suceder tres casos diferentes:

1. Todas las raíces son simples entonces el polinomio D(x) nos queda $\large D\left ( x \right )=\left ( x-\alpha \right )\times \left ( x-\beta \right )\times . . .$ y entonces se plantea lo siguiente: $\large \frac{P(x)}{D(x)}\;= \frac{A}{x-\alpha }+\frac{B}{x-\beta } + . . .$ y calculamos las constantes A, B . . . por diferentes métodos matemáticos que veremos en los ejercicios.
2. Existen raíces múltiples; por cada grado de multiplicidad agregamos un término
  - Raíz doble queda $\large = \frac{A}{x-\alpha }+\frac{B}{(x-\alpha)^{2} }$
  - Si es Raíz triple queda $\large = \frac{A}{x-\alpha }+\frac{B}{(x-\alpha)^{2} }+\frac{C}{(x-\alpha)^{3} }$
3. Si existen raíces imaginarias nos queda de la forma siguiente:
  - $\large = \frac{Ax+B}{(ax^{2}+bx+c) }$

Ejemplo Resuelto

Si observamos el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del denominador; por lo tanto separamos en fracciones simples:

Ahora vamos a calcular las constantes A y B, damos valores a x en la igualdad anterior.

métodos de integración:
ejercicios resueltos integración de funciones racionales
fracciones

Posteriormente podemos escribir la integral como una suma; entonces aplicando propiedades, lo podemos expresar como una suma de integrales:

Ejercicio 18

Encontrar la solución correcta para el cálculo de la siguiente Integral

Ejercicio 19

CÁLCULO de INTEGRALES por Fracciones parciales
Integración por Fracciones Simple

Ejercicio 20

Integración por fracciones parciales con raíces simples

Ejercicio 21

Integración por fracciones parciales con raíces dobles

Ejercicio 22

Integración por fracciones parciales con raíces imaginarias

Área entre dos funciones

Ejercicio 23

Hallar el área encerrada entre la parábola y = x² y la recta y = x

Ejercicio 24

Calcular la superficie entre F(x) = x³ y g(x) = x delimitada por x = 0 y x = 2

Ejercicio 25

$\large f(x)=x-x^{2}$ y la función $\large f(x)=-x$ en el intervalo $\large \begin{bmatrix} 0& ;& 2 \end{bmatrix}$

Calcular el área entre las siguientes dos funciones:

Ejercicio 26

Calcula el área entre las siguientes 2 funciones

$\large f\left ( x \right )=x^{2}$ y la función $\large f\left ( x \right )= 4$

Ejercicio 27

Determinar la superficie entre las siguientes funciones siguientes:

$\large f(x)=x^{2}-2x$ y la función $\large f(x)=2-x$ en el intervalo $\large \begin{bmatrix} 0& ;& 2 \end{bmatrix}$

Sólido de revolución alrededor del eje x

Ejercicio 28

Un sólido de revolución (rotación alrededor del eje x)
La región entre la curva

y el eje x se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. Determinar su volumen.

Ejercicio 29

Un sólido de revolución (rotación alrededor de la recta y =1 )
Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar, alrededor de la recta y = 1, la región acotada por