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En este curso de Cálculo 1B vamos a presentar diferentes formas de encare del trabajo matemático; de manera que el estudiante pueda encarar la resolución de los ejercicios del curso sin inconvenientes favoreciendo de esta manera el aprendizajes de los contenidos matemáticos y sus aplicaciones.
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Anti derivadas.
DEFINICIÓN
Podemos definir a una función F(x) como una anti derivada de f(x) en un intervalo I si para
todo x que pertenece al intervalo.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejemplos de antiderivadas
Ejercicio 3
Límites de Sumas Finitas
Ejercicio 4
Sumas superiores e inferiores
Ejercicio 5
Cálculo de un área con sumas superiores e inferiores en una partición infinita
Integral definida y Reglas de Integración
Ejercicio 6
Ejercicio 7
Reglas de integración
Teorema Fundamental del Cálculo
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Teorema de Sustitución
Ejercicio 11
Ejercicio 12
Ejercicio 13
Ejercicio 14
Teorema de Integración por Partes
Para aplicar el método de integración por partes lo que debemos hacer es distinguir una multiplicación de funciones (esto a nivel general); y buscar una función que sea más fácil de calcular su primitiva y derivar la otra función de forma que la integral que resulte sea más sencilla de calcular.
Para esto en los ejercicios siguientes veremos como son esas combinaciones que en general se resuelven aplicando este método de integración por Partes
Teorema de Integración por Partes
Ejercicio 15
Método de Integración por Partes
Ejercicio 16
Segunda Parte Integración por Partes
Ejercicio 17
Integración por Fracciones Simples
CÁLCULO de INTEGRALES por Fracciones parciales
En el cálculo de integrales de funciones las cuales son cocientes de polinomios de la forma siguiente:
debemos comparar los grados de ambos polinomios:
Pueden presentarse dos casos:
- Si el grado del numerador P(x) es mayor o igual que el grado del denominador D(x); primero debemos dividir los polinomios obteniendo un cociente Q(x) y un resto R(x) y planteamos lo siguiente;
donde en esta última integral planteamos fracciones simples
- Si el grado del numerador P(x) es menor que el grado del denominador D(x); entonces aplicamos directamente el método de fracciones simples.
Método de Separación en Fracciones Simples
Separar en fracciones simples un cociente de polinomios consiste en lo siguiente:
vamos a realizar los siguientes pasos
Calculamos todas las raíces del divisor D(x) y planteamos su descomposición factorial como hemos aprendido en años anteriores. Pueden suceder tres casos diferentes:
- Todas las raíces son simples entonces el polinomio D(x) nos queda
y entonces se plantea lo siguiente:
y calculamos las constantes A, B . . . por diferentes métodos matemáticos que veremos en los ejercicios.
- Existen raíces múltiples; por cada grado de multiplicidad agregamos un término
- Raíz doble queda
- Si es Raíz triple queda
- Raíz doble queda
- Si existen raíces imaginarias nos queda de la forma siguiente:
- Todas las raíces son simples entonces el polinomio D(x) nos queda
Ejemplo Resuelto

Si observamos el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del denominador; por lo tanto separamos en fracciones simples:

Ahora vamos a calcular las constantes A y B, damos valores a x en la igualdad anterior.

Posteriormente podemos escribir la integral como una suma; entonces aplicando propiedades, lo podemos expresar como una suma de integrales:

Ejercicio 18
Encontrar la solución correcta para el cálculo de la siguiente Integral
Ejercicio 19
Ejercicio 20
Integración por fracciones parciales con raíces simples
Ejercicio 21
Integración por fracciones parciales con raíces dobles
Ejercicio 22
Integración por fracciones parciales con raíces imaginarias
Área entre dos funciones
Ejercicio 23
Hallar el área encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y = x
Ejercicio 24
Calcular la superficie entre F(x) = x3 y g(x) = x delimitada por x = 0 y x = 2
Ejercicio 25
y la función
en el intervalo
Calcular el área entre las siguientes dos funciones:
Ejercicio 26
Calcula el área entre las siguientes 2 funciones
y la función
Ejercicio 27
Determinar la superficie entre las siguientes funciones siguientes:
y la función
en el intervalo
Sólido de revolución alrededor del eje x
Ejercicio 28
Un sólido de revolución (rotación alrededor del eje x)
La región entre la curva

y el eje x se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. Determinar su volumen.

Ejercicio 29
Un sólido de revolución (rotación alrededor de la recta y =1 )
Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar, alrededor de la recta y = 1, la región acotada por

Sólido de revolución alrededor del eje y – Método de los Casquillos
Ejercicio 30
Casquillos cilíndricos rotando alrededor del eje y
La región acotada por la curva

el eje x y la recta x = 4 se hace girar alrededor del eje y para generar un sólido. Determinar el volumen del sólido.
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones diferenciales a variables separables
Ejercicio 31
Resuelve la siguiente ecuación diferencial a Variables Separables
y´= 3t2 + y2 3t2
Ejercicio 32
Resolver la siguiente ecuación diferencial
Sugerencia: Aplicar Teorema Fundamental del cálculo integral