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Matemáticas 2 – P4

Ejercicios de varias variables, con aplicaciones

Ejercicio 1

Una compañía estima que el número de unidades que vende cada año es una función de los gastos destinados a la publicidad por televisión y por radio. La función específica, donde ”z” es el número de unidades vendidas al año, ”x” los gastos de publicidad por televisión e “y” los gastos en publicidad por radio (ambos gastos en miles de dólares) es la siguiente:
z = f(x,y) = 50000x + 40000y + 10x2 + 20y2 + 10xy
a. Determine las ventas anuales esperadas si se destinan US$ 40000 a la publicidad por televisión y US$ 20000 a la publicidad por radio.
b. Halle cuánto crecerían las ventas si se destina US$ 1000 más en la publicidad por televisión.
c. Compare el resultado hallado en la parte anterior con fX(40,20), analizando entonces si la derivada parcial subestimó o sobrestimó dicho cambio.
d. Calcule fY(40,20) y analice, a partir de este resultado y de los ya calculados, si es mejor invertir US$ 1000 más en publicidad por radio que por televisión. Justifique.

Ejercicio 2

El precio de venta “p1” de una unidad del producto A, se puede expresar en función de la demanda de dicho producto “x” y de la demanda del producto B “y”. De la misma manera el precio de venta “p2” de una unidad del producto B, se puede expresar en función de la demanda de dicho producto “y” y de la demanda del producto A “x”. A continuación se presentan las
funciones que indican esas relaciones:
p1 = -0,01x – 0,005y + 156 p2 = -0,02y – 0,005x + 79
La función de costo conjunto de estos dos artículos es la siguiente:
CT(x,y) = 55x + 25y + 10000
a. Halle la función de utilidad conjunta por las ventas de estos dos productos.

b. La utilidad total cuando se producen y venden 200 unidades de A y 300 unidades de B es 23600 ¿Un aumento unitario en las ventas de cuál de los dos productos produciría un mayor impacto en la utilidad en esta situación?
c. Halle, a partir de las derivadas parciales, cuál es la utilidad aproximada si se aumenta la producción a x = 201 e y = 301.

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Dado:

derivadas parciales de funciones de varias variables

Ejercicio 6

Sea f:R →R derivable, halle la forma genérica de las derivadas parciales de las siguientes funciones:

  1. \large g\left ( x,y \right )=f\left ( x^{2}-3xy^{2} \right )
  2. \large g\left ( x,y \right )= f\left ( y-x^{2} \right )\times f\left ( 4-y \right )
  3. \large g\left ( x,y \right )= f^{2}\left ( x^{2}y \right )

Ejercicio 7

Se lanza un nuevo producto al mercado, el equipo encargado de su comercialización ha determinado que el volumen de ventas en miles de unidades depende del tiempo “t” (en meses) transcurrido desde el lanzamiento y de la cantidad mensual “x” invertida en publicidad (en dólares), de acuerdo con la siguiente ecuación:

a. Determine el tope de ventas que puede esperarse para el nuevo producto. Justifique.
b. Calcule las derivadas parciales de la función e interprete económicamente el signo de las mismas.
c. Calcule el valor de las mismas, a los 5 meses del lanzamiento del producto, si la cantidad invertida en publicidad es de 500 dólares. Interprete dichos valores.

Ejercicio 8