Preparación de Examen de Matemáticas 04

Contenidos

¡Bienvenido al curso de Matemáticas 04, donde tu éxito es nuestra meta! Aquí, no solo aprenderás los conceptos fundamentales que necesitas dominar, sino que también resolverás ejercicios esenciales que te prepararán para parciales y exámenes.

Con nuestro enfoque práctico, no solo practicarás intensamente, sino que también comprenderás a fondo el razonamiento y los procedimientos matemáticos indispensables.

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SUCESIONES

Definición de sucesión :
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales (N) y su codominio es el conjunto de los números reales (R).

Es decir como una función es una cuenta que hacemos con una x que pertenece a los reales (cualquier número real) por ejemplo f(x) = 3X +1; y hacemos cuentas como f(2) = 3.2 +1=7 o podemos hacer f(7/3) = 3×7/3 +1=8.

Una sucesión es una función cuyo dominio son los naturales por lo que les cambiamos el nombre de f(x) a a_n=3n+1; donde podremos calcular por ejemplo a₂=3*2+1=7 porque 2 es un natural pero no lo podremos hacer con a_7/3 porque 7/3 no es un natural.

Por lo tanto el dominio de las sucesiones son los naturales con lo cual los limites a menos infinitos y los límites laterales no existen para las sucesiones.

Esto significa que cuando hablamos del lìmite de una sucesión nos referimos siempre al límite a +∞ .

Matemáticas 04 – Ejercicio 1

Introducción teórica al estudio de la monotonía, acotación y convergencia de las sucesiones

Ejercicio 2

Estudiar monotonía, acotación y convergencia de las siguientes sucesiones (a_n)_{n ∈ N} donde:

Matemáticas 04 – Ejercicio 3

Estudiar monotonía, acotación y convergencia de las siguientes sucesiones (a_n)_{n ∈ N} donde:

Ejercicio 4

Encontrar los límites de las sucesiones (a_n)_{n ∈ N}, donde:

SERIES

Serie Geométrica

Una serie geométrica es una serie de la forma:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \]

Aquí, $ a $ es el primer término y $ r $ es la razón común. Cada término de la serie se obtiene multiplicando el término anterior por $ r $.

Convergencia de la Serie Geométrica

La serie geométrica infinita $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $ converge (es decir, tiene una suma finita) si y solo si $ |r| < 1 $. En este caso, la suma de la serie es:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r} \]

Si $ |r| \geq 1 $, la serie no converge (la suma es infinita o no definida).

Ejemplo de Resolución

Consideremos la serie geométrica con $ a = 2 $ y $ r = \frac{1}{3} $:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} 2 \left( \frac{1}{3} \right)^n \]

Verificamos la condición de convergencia:

\[ \left| \frac{1}{3} \right| < 1 \]

Como $ \left| \frac{1}{3} \right| < 1 $, la serie converge. Calculamos la suma usando la fórmula:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} 2 \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{2}{1 – \frac{1}{3}} \]

Resolvemos la fracción:

\[ \frac{2}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \]

Por lo tanto, la suma de la serie es 3.

Resumen

– Serie geométrica: Una serie de la forma $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $, donde $ a $ es el primer término y $ r $ es la razón común.
– Convergencia: La serie converge si $ |r| < 1 $. En este caso, la suma es $ \frac{a}{1-r} $.
– Ejemplo: Para $ a = 2 $ y $ r = \frac{1}{3} $, la suma de la serie es 3.

Mat04 – Ejercicio 5

Series geométricas

Indicar si las siguientes series son convergentes o no, hallando su suma en caso de serlo.

Series Telescópicas

Una serie telescópica es una serie infinita (o finita) en la que la mayoría de los términos se cancelan entre sí, dejando solo unos pocos términos que no se anulan. Este tipo de series es particularmente útil porque simplifica el proceso de encontrar la suma de la serie.

Definición Formal

Una serie telescópica tiene la forma:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_n – a_{n+1}) \]

Aquí, $ a_n $ representa los términos de la serie. Cuando expandes la suma, notarás que muchos términos se cancelan:

\[ (a_1 – a_2) + (a_2 – a_3) + (a_3 – a_4) + \cdots \]

Al observar esta expansión, verás que cada término negativo de $ a_n $ se cancela con el término positivo de $ a_{n+1} $, excepto los términos inicial y final (en el caso de una serie finita).

Ejemplo de Resolución

Consideremos la serie telescópica:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \]

Vamos a expandir los primeros términos para ver el patrón de cancelación:

\[ \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \cdots \]

Al expandir, obtenemos:

\[ 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \cdots \]

Podemos ver que muchos términos se cancelan:

\[ 1 – \cancel{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} – \cancel{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} – \cancel{\frac{1}{4} + \cdots} \]

Lo único que no se cancela es el primer término $ 1 $ y el límite de la última parte que tiende a cero:

\[ 1 + 0 = 1 \]

Por lo tanto, la suma de la serie telescópica es 1.

Resumen

– Serie telescópica: Una serie en la que la mayoría de los términos se cancelan entre sí.
– Forma: $ \sum_{n=1}^{\infty} (a_n – a_{n+1}) $
– Ventaja: Simplifica el cálculo de la suma debido a las cancelaciones.

Ejemplo Resuelto

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) = 1 \]

Al expandir, los términos intermedios se cancelan, dejando solo el primer término $ 1 $ y la última parte que tiende a cero.

Matemáticas 04 – Ejercicio 6

Indicar si las siguientes series son convergentes o no, hallando su suma en caso de serlo.

Mat04 – Ejercicio 7

Criterio de la armónica y criterio del equivalente

Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes aplicando el criterio del equivalente.

Ejercicio 8 – Matemáticas 04

Criterio del Cociente

Usar el criterio del cociente para estudiar la convergencia de las siguientes series:

Matemáticas 04 – Ejercicio 9

Criterio de la raíz

Usar el criterio de la raíz para estudiar la convergencia de las siguientes series:

Topología

Definiciones en Varias Variables

Bola

Bola Abierta

Una bola abierta de radio $ r > 0 $ centrada en un punto $ c \in \mathbb{R}^n $ se define como el conjunto de todos los puntos $ x \in \mathbb{R}^n $ cuya distancia a $ c $ es menor que $ r $:

\[ B(c, r) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \|x – c\| < r \} \]

Bola Cerrada

Una bola cerrada de radio $ r $ centrada en un punto $ c \in \mathbb{R}^n $ se define como el conjunto de todos los puntos $ x \in \mathbb{R}^n $ cuya distancia a $ c $ es menor o igual a $ r $:

\[ \overline{B}(c, r) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \|x – c\| \leq r \} \]

Punto Interior, Frontera, Exterior, Aislado y de Acumulación

Punto Interior

Un punto $ x \in A \subseteq \mathbb{R}^n $ es un punto interior de $ A $ si existe una bola abierta $ B(x, r) $ completamente contenida en $ A $:

\[ \exists r > 0 \text{ tal que } B(x, r) \subseteq A \]

Punto Frontera

Un punto $ x \in \mathbb{R}^n $ es un punto frontera de $ A \subseteq \mathbb{R}^n $ si cada bola abierta centrada en $ x $ contiene al menos un punto en $ A $ y al menos un punto fuera de $ A $:

\[ \forall r > 0, \ B(x, r) \cap A \neq \emptyset \text{ y } B(x, r) \cap (\mathbb{R}^n \setminus A) \neq \emptyset \]

Punto Exterior

Un punto $ x \in \mathbb{R}^n $ es un punto exterior de $ A \subseteq \mathbb{R}^n $ si existe una bola abierta $ B(x, r) $ completamente contenida en el complemento de $ A $:

\[ \exists r > 0 \text{ tal que } B(x, r) \subseteq \mathbb{R}^n \setminus A \]

Punto Aislado

Un punto $ x \in A $ es un punto aislado de $ A $ si existe una bola abierta $ B(x, r) $ que no contiene ningún otro punto de $ A $:

\[ \exists r > 0 \text{ tal que } B(x, r) \cap A = \{ x \} \]

Ejercicio 10- Mat 04 FQ

Conceptos teóricos, puntos y conjuntos

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Límites en Varias Variables En cálculo multivariable, un límite describe el comportamiento de una función $ f(x, y) $ a medida que las variables $ x $ e $ y $ se acercan a ciertos valores. Formalmente, decimos que el límite de $ f(x, y) $ es $ L $ cuando $ (x, y) $ se aproxima a $ (a, b) $ si para cualquier secuencia de puntos que se acerquen a $ (a, b) $, los valores de la función se acercan a $ L $. Matemáticamente, esto se escribe como: \[ \lim_{{(x, y) \to (a, b)}} f(x, y) = L \] Ejemplo de Resolución de un Límite Consideremos la función $ f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} $ y queremos encontrar el límite cuando $ (x, y) $ se aproxima a $ (0, 0) $. 1. Por la línea $ y = 0 $: \[ f(x, 0) = \frac{x \cdot 0}{x^2 + 0^2} = 0 \] Entonces, $\lim_{{x \to 0}} f(x, 0) = 0$. 2. Por la línea $ x = 0 $: \[ f(0, y) = \frac{0 \cdot y}{0^2 + y^2} = 0 \] Entonces, $\lim_{{y \to 0}} f(0, y) = 0$. 3. Por la línea $ y = x $: \[ f(x, x) = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} \] Entonces, $\lim_{{x \to 0}} f(x, x) = \frac{1}{2}$. Dado que obtenemos diferentes resultados al aproximarnos por distintas trayectorias, concluimos que el límite no existe. ### Continuidad en Varias Variables Una función $ f(x, y) $ es continua en un punto $ (a, b) $ si el límite de $ f(x, y) $ cuando $ (x, y) $ se aproxima a $ (a, b) $ es igual al valor de la función en ese punto, es decir: \[ \lim_{{(x, y) \to (a, b)}} f(x, y) = f(a, b) \] Ejemplo de Función Continua Consideremos la función $ f(x, y) = x^2 + y^2 $. 1. Evaluación en el punto (1,1): \[ f(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2 \] 2. Límite cuando $(x, y) \to (1, 1)$: \[ \lim_{{(x, y) \to (1, 1)}} (x^2 + y^2) = 1^2 + 1^2 = 2 \] Dado que el límite y el valor de la función en $ (1, 1) $ son iguales, la función es continua en ese punto. Ejemplo de Función No Continua Consideremos la función $ g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} $ y evaluemos la continuidad en el punto $ (0, 0) $. 1. Evaluación en el punto (0,0): \[ g(0, 0) = \frac{0 \cdot 0}{0^2 + 0^2} \quad \text{(indefinido)} \] 2. Límite cuando $(x, y) \to (0, 0)$: – Por la línea $ y = x $: \[ \lim_{{x \to 0}} g(x, x) = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{1}{2} \] Dado que el límite depende del camino tomado y no es igual para todas las trayectorias, y además la función no está definida en $ (0, 0) $, la función no es continua en ese punto. Espero que estas explicaciones y ejemplos te hayan ayudado a entender mejor los conceptos

Ejercicio 11- Mat 04 FQ

Ejercicio 18

Demostración de No Existencia de un Límite; uso de Restricciones para la determinación de la inexistencia del límite dado.

Que son las restricciones y como se usan

Ejercicio 12

Hallar los siguientes límites, si existen:

Ejercicio 13

Determina si existe el valor del siguiente límite:

Ejercicio 14 – Matemáticas 04 FQ

Calcular el límite dado a continuación; en caso de no existencia probarlo, en caso de existir calcularlo:

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Ejercicio 15

Calcular el valor de los siguientes límites dados a continuación:

Ejercicio 16

Calcule los valores de los siguientes límites:

Continuidad en Varias Variables

Ejercicio 17

Determinar si la siguiente función es continua en (0,0)

Ejercicio 18

Determinar si las siguientes funciónes son continua en el punto de R² (0,0)

Determinar si una función es continua en un punto de R2

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-42.png

Derivadas Parciales

Derivada Parcial
Una derivada parcial mide cómo cambia una función con respecto a una de sus variables, manteniendo las demás constantes. Es similar a la derivada ordinaria, pero se aplica a funciones de varias variables. La derivada parcial de una función $ f(x,y) $ con respecto a $ x $ se denota como $ \frac{\partial f}{\partial x} $, y con respecto a $ y $ se denota como $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Definición Formal
La derivada parcial de $ f $ con respecto a $ x $ en el punto $(a, b)$ se define como el límite: \[ \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) – f(a, b)}{h} \] Ejemplo de Cálculo de una Derivada Parcial Usando el Límite
Consideremos la función $ f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 $. Queremos encontrar la derivada parcial con respecto a $ x $ en el punto $(1, 2)$. 1. Definición del límite:
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h, 2) – f(1, 2)}{h} \] 2. Evaluación de la función en los puntos: \[ f(1 + h, 2) = (1 + h)^2 \cdot 2 + 3(1 + h) \cdot 2^2 = 2(1 + 2h + h^2) + 3(1 + h) \cdot 4 \] \[ = 2 + 4h + 2h^2 + 12 + 12h = 14 + 16h + 2h^2 \] \[ f(1, 2) = 1^2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 2^2 = 2 + 12 = 14 \] 3. Aplicación del límite: \[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = \lim_{h \to 0} \frac{(14 + 16h + 2h^2) – 14}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{16h + 2h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (16 + 2h) = 16 \] Cálculo de Derivadas Parciales
Veamos dos ejemplos de cálculo de derivadas parciales.
Ejemplo 1
Para la función $ f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 $:
1. Derivada parcial con respecto a $ x $: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 3xy^2) = 2xy + 3y^2 \] 2. Derivada parcial con respecto a $ y $: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 3xy^2) = x^2 + 6xy \] Ejemplo 2
Para la función $ g(x, y) = e^x \sin y $:
1. Derivadas parciales con respecto a $ x $:
\[ \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x \sin y) = e^x \sin y \] 2. Derivada parcial con respecto a $ y $: \[ \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x \sin y) = e^x \cos y \] Matriz Jacobiana
La matriz Jacobiana es una matriz que contiene todas las derivadas parciales de una función vectorial. Si $\mathbf{F}(x, y) = \begin{bmatrix} f_1(x, y) \\ f_2(x, y) \end{bmatrix}$, la matriz Jacobiana $ J $ es: \[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix} \] Ejemplo 1: Matriz Jacobiana de $ \mathbf{F}(x, y) = \begin{bmatrix} x^2 y + 3xy^2 \\ e^x \sin y \end{bmatrix} $
1. Cálculo de las derivadas parciales: – Para $ f_1(x, y) = x^2 y + 3xy^2 $: \[ \frac{\partial f_1}{\partial x} = 2xy + 3y^2 \] \[ \frac{\partial f_1}{\partial y} = x^2 + 6xy \] – Para $ f_2(x, y) = e^x \sin y $: \[ \frac{\partial f_2}{\partial x} = e^x \sin y \] \[ \frac{\partial f_2}{\partial y} = e^x \cos y \] 2. Construcción de la matriz Jacobiana: \[ J = \begin{bmatrix} 2xy + 3y^2 & x^2 + 6xy \\ e^x \sin y & e^x \cos y \end{bmatrix} \] Ejemplo 2: Matriz Jacobiana de $ \mathbf{G}(x, y) = \begin{bmatrix} x^2 + y^2 \\ xy \end{bmatrix} $
1. Cálculo de las derivadas parciales: – Para $ g_1(x, y) = x^2 + y^2 $: \[ \frac{\partial g_1}{\partial x} = 2x \] \[ \frac{\partial g_1}{\partial y} = 2y \] – Para $ g_2(x, y) = xy $: \[ \frac{\partial g_2}{\partial x} = y \] \[ \frac{\partial g_2}{\partial y} = x \] 2. Construcción de la matriz Jacobiana: \[ J = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ y & x \end{bmatrix} \] Resumen
– Derivada Parcial: Mide el cambio de una función con respecto a una variable, manteniendo las otras constantes. – Ejemplo de Derivada Parcial: $ f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 $ – $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$ – $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy$ – Matriz Jacobiana: Matriz que contiene todas las derivadas parciales de una función vectorial. – Ejemplo 1:
$ \mathbf{F}(x, y) = \begin{bmatrix} x^2 y + 3xy^2 \\ e^x \sin y \end{bmatrix} $ \[ J = \begin{bmatrix} 2xy + 3y^2 & x^2 + 6xy \\ e^x \sin y & e^x \cos y \end{bmatrix} \] – Ejemplo 2:
$ \mathbf{G}(x, y) = \begin{bmatrix} x^2 + y^2 \\ xy \end{bmatrix} \[ J = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ y & x \end{bmatrix} $

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio 21

Ejercicio 22

Ejercicio 23

Ejercicio 24

Cálculo práctico de Derivadas Parciales

Ejercicio 25

Calcular las derivadas parciales en (0,0) de:

\ LARGE f \ left (x, y \ right) = \ sqrt [3] {x ^ {3} + y ^ {3}}

Ejercicio 26

Determinar las derivadas parciales en (0,0) de:

\ LARGE f \ left (x, y \ right) = \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}

Curvas de Nivel

Ejercicio 27

Calcular las curvas de nivel y representarlas gráficamente de la función f(x)=x²+Y²

Acotaciones

Ejercicio 28

Ejercicio 29

Demostración de la siguiente acotación:

-\frac{1}{2}\leq \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\leq \frac{1}{2}

Diferenciabilidad

Diferenciabilidad de una Función de Varias Variables
La diferenciabilidad de una función de varias variables es una extensión del concepto de diferenciabilidad de funciones de una sola variable. Para entenderlo mejor, consideremos una función $ f $ que depende de dos variables $ x $ y $ y $, es decir, $ f(x, y) $.
Definición Intuitiva
Decimos que una función $ f(x, y) $ es diferenciable en un punto $(a, b)$ si podemos aproximar la función cerca de ese punto usando un plano tangente, de manera que esta aproximación sea muy precisa cuando estamos muy cerca de $(a, b)$.
Concepto Matemático
Matemáticamente, la función $ f $ es diferenciable en $(a, b)$ si existe un plano tangente en ese punto que se puede describir mediante la derivada parcial de $ f $ respecto a $ x $ y $ y $. Formalmente, $ f $ es diferenciable en $(a, b)$ si existen números $ A $ y $ B $ (las derivadas parciales de $ f $ en $(a, b)$) tales que: \[ f(a + h, b + k) = f(a, b) + A \cdot h + B \cdot k + o(\sqrt{h^2 + k^2}) \] donde $ h $ y $ k $ son pequeños incrementos en $ x $ y $ y $, respectivamente, y $ o(\sqrt{h^2 + k^2}) $ representa una función que tiende a 0 más rápido que $ \sqrt{h^2 + k^2} $ cuando $ h $ y $ k $ se acercan a 0.
Ejemplos de Cálculo de Diferenciabilidad
Ejemplo 1: Función Lineal
Consideremos la función $ f(x, y) = 3x + 4y $.
1. **Derivadas Parciales:**
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4 \]
2. **Plano Tangente:**
En cualquier punto $(a, b)$, el plano tangente es: \[ f(a + h, b + k) \approx f(a, b) + 3h + 4k \] Como esta es una función lineal, la aproximación es exacta y no hay un término de error, por lo que $ f $ es diferenciable en todos los puntos $ (a, b) $.
Ejemplo 2: Función Cuadrática
Consideremos la función $ f(x, y) = x^2 + y^2 $. 1. **Derivadas Parciales:** \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \] 2. **Plano Tangente en $(a, b)$:** \[ f(a + h, b + k) \approx f(a, b) + 2a \cdot h + 2b \cdot k \] Aquí, el término de error es: \[ o(\sqrt{h^2 + k^2}) = h^2 + k^2 \] Por lo tanto: \[ f(a + h, b + k) = a^2 + b^2 + 2a \cdot h + 2b \cdot k + h^2 + k^2 \] La función cuadrática tiene un término de segundo orden ($h^2 + k^2$), pero este término se hace insignificante muy cerca de $(a, b)$, indicando que $ f $ es diferenciable en $(a, b)$.
Resumen
Para que una función de varias variables sea diferenciable en un punto, debe existir un plano tangente en ese punto que aproxime la función con precisión. Esto se verifica calculando las derivadas parciales y comprobando que el término de error se hace insignificante cuando nos acercamos al punto de interés.

Ejercicio 30

Se considera la función

f\left ( x,y \right )= \sqrt{x^{4}+x^{2}\times y^{2}}

Estudie la diferenciabilidad de f en:
(a) (0; 0).
(b) (0; 1).

Mat 04 – Ejercicio 31

Funciones de variables calculo 2 diferenciabilidad ejercicios de examen resueltos

(a) Analice continuidad de f en (0; 0).

(b) Halle, si existen, las derivadas parciales de f en (0; 0).

Ejercicio 32

(a) Analice continuidad de f en (0; 0).

(b) Halle, si existen, las derivadas parciales de f en (0; 0).

(d) Estudie diferenciabilidad de g : g(x; y) = x f(x; y) en (0; 0).

Integrales Dobles

Integral Doble
Una Integral Doble es extensión del concepto de la integral simple, que suma valores de una función sobre un intervalo en una dimensión. Definición Intuitiva
Imagina que tienes una superficie en el espacio. La integral doble nos permite calcular el volumen bajo esa superficie sobre una región determinada en el plano $ xy $. Es como calcular cuánta arena se necesita para llenar una forma en el suelo hasta una cierta altura determinada por la función.
Concepto Matemático
Si $ f(x, y) $ es una función continua sobre una región $ R $ en el plano $ xy $, entonces la integral doble de $ f $ sobre $ R $ se denota como: \[ \iint_R f(x, y) \, dA \] donde $ dA $ representa un pequeño elemento de área en la región $ R $.
Integrales Dobles Iteradas
Para calcular una integral doble, a menudo la expresamos como una integral iterada, es decir, calculamos una integral dentro de otra. Esto se puede hacer de dos maneras: integrando primero con respecto a $ x $ y luego con respecto a $ y $, o viceversa. Ejemplos de Cálculo de Integrales Dobles Iteradas
Ejemplo 1: Integral Doble sobre un Rectángulo
Calculemos la integral doble de $ f(x, y) = x + y $ sobre el rectángulo $ R $ definido por $ 0 \le x \le 1 $ y $ 0 \le y \le 2 $. \[ \iint_R (x + y) \, dA = \int_0^2 \int_0^1 (x + y) \, dx \, dy \] 1. Integrar con respecto a $ x $:
\[ \int_0^1 (x + y) \, dx = \int_0^1 x \, dx + \int_0^1 y \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + y \left[ x \right]_0^1 \] \[ = \frac{1}{2} + y \] 2. Integrar con respecto a $ y $:
\[ \int_0^2 \left( \frac{1}{2} + y \right) \, dy \] \[ = \int_0^2 \frac{1}{2} \, dy + \int_0^2 y \, dy \] \[ = \frac{1}{2} \left[ y \right]_0^2 + \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{2^2}{2} \] \[ = 1 + 2 = 3 \] Por lo tanto, la integral doble es $ \iint_R (x + y) \, dA = 3 $.
Ejemplo 2: Integral Doble sobre una Región Triangular
Consideremos la integral doble de $ f(x, y) = xy $ sobre la región triangular $ R $ definida por los vértices $(0, 0)$, $(1, 0)$, y $(1, 1)$. \[ \iint_R xy \, dA = \int_0^1 \int_0^x xy \, dy \, dx \] 1. Integrar con respecto a $ y $:
\[ \int_0^x xy \, dy = x \int_0^x y \, dy \] \[ = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x \] \[ = x \cdot \frac{x^2}{2} \] \[ = \frac{x^3}{2} \] 2. Integrar con respecto a $ x $:
\[ \int_0^1 \frac{x^3}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^3 \, dx \] \[ = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \] \[ = \frac{1}{8} \] Por lo tanto, la integral doble es $ \iint_R xy \, dA= \frac{1}{8} $.

Ejercicio 33

Calcular la integral doble de f(x,y) = x + y en el cuadrado de vértice (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)

Ejercicio 34

Calcular la siguiente integral doble en la siguiente región de integración dada

Ejercicio 35

Cambio de Variable Lineal

Sean f : f (x; y) = 5 + 6x + 2y y S el paralelogramo de vértices (1; 0); (3; 2); (2;3); (0; 1), calcular:

Ejercicio 36

\large f:f\left ( x,y \right )= \frac{1}{1+\left ( x-y \right )^{4}}

S el triángulo de vértices (1,0)(0,0)(0,-1) calcular la

\large \iint_{}^{}f\left ( x,y \right )dxdy

Ejercicio 37

Cambio de Variable a Coordenadas Polares

Sea $\large f\left ( x,y \right )= xy$ y el conjunto $\large S= \begin{Bmatrix} \left ( x,y \right )\epsilon \mathbb{R}^{2}:x\leq y;x^{2}+y^{2}-2y\leq 0 \end{Bmatrix}$ ,

calcular $\large \iint_{}^{}f\left ( x,y \right )dxdy$

Ejercicio 38

Sea $\large f\left ( x,y \right )=\frac{1}{\sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{3}}}$ ; y la región siguiente $\large S=\begin{Bmatrix} \left ( x,y \right )\epsilon \mathbb{R}^{2}:\; 0\leq y;\; 2\leq x+y\: ;\: x+2y\leq 4 \end{Bmatrix}$ ; determinar:

Integrales Dobles Impropias

Ejercicio 39

Resumen de como encarar la resolución de las integrales impropias en varias variables.

Plantearemos las diferentes alternativas; además veremos cuando conviene hacer un cambio de Variable Lineal y cunado una cambio de variable a coordenadas polares.