Propiedades Logaritmos — Curso de Logaritmos Gratis

Qué aprenderás en esta clase

Las propiedades de los logaritmos: suma, resta, potencia, raíz, cambio de base e inverso, y cómo se usan para resolver ecuaciones.

Para qué sirven las propiedades

Una vez que se sabe qué es un logaritmo y cómo se aplica su definición, el paso siguiente son las propiedades. Permiten transformar expresiones con varios logaritmos en una sola, y de ese modo resolver ecuaciones logarítmicas más complejas. En esta parte del curso se usan para resolver ocho ecuaciones del segundo repartido.

Las propiedades principales

Todas las que siguen valen cuando los logaritmos existen. La primera es la suma: $\log_c a + \log_c b = \log_c(a b)$ : la suma de logaritmos de igual base es el logaritmo del producto. La segunda es la resta: $\log_c a - \log_c b = \log_c \frac{a}{b}$ . La tercera, la potencia: $\log_c(a^n) = n \log_c a$ , el exponente sale multiplicando. La cuarta, la raíz: $\log_c \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n}\log_c a$ .

Más propiedades

La quinta combina potencia en el número y en la base: $\log_{c^n}(a^m) = \frac{m}{n}\log_c a$ . La sexta es el cambio de base: $\log_c a = \frac{\log_b a}{\log_b c}$ , que permite pasar a la base más conveniente. La séptima es el inverso: $\log_c a = \frac{1}{\log_a c}$ . Y hay dos valores que conviene recordar: $\log_a a = 1$ y $\log_a 1 = 0$ .

El consejo para las ecuaciones

El curso da un consejo práctico: trabajar la ecuación de modo que quede un logaritmo a cada lado de la igualdad, o en su defecto, un logaritmo igual a un número. Con un logaritmo a cada lado, se igualan los argumentos, porque el logaritmo es una función inyectiva: $\log_c A = \log_c B$ implica $A = B$ . Con un logaritmo igual a un número, se aplica la definición.

Elegir la base más chica

Cuando una ecuación mezcla bases distintas, conviene llevar todo a la misma base. Por ejemplo, 9 y 81 son potencias de 3, así que se pasan a base 3. Es el mismo criterio que en las ecuaciones exponenciales, y se hace con el cambio de base o con la propiedad de la base potencia.

Verificar siempre

Después de resolver, hay que comprobar las condiciones de existencia en la ecuación original, porque al aplicar propiedades se puede ampliar el dominio. Por ejemplo, $\log x^2 = 2\log x$ vale solo si $x > 0$ : para $x < 0$ el lado izquierdo existe, pero el derecho no.