Curso de Logaritmos – Ejercicio 8 del Repartido

Curso de Logaritmos – Ejercicio 8 del Repartido

Curso de Logaritmos – Ejercicio 8 del Repartido. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 8 del repartido: $\log_x(6x - 5) = 2$. Es el más completo de los ocho, porque la variable aparece en las dos partes del logaritmo, en la base y en el número. Por eso las condiciones de existencia son tres, y todas importan.

Estudiar la existencia

Hay que pedir que $6x - 5 > 0$, lo que da $x > \frac{5}{6}$. Hay que pedir que la base sea mayor que 0: $x > 0$. Y hay que pedir que la base sea distinta de 1: $x \neq 1$. Se ubican en una recta los valores 0, $\frac{5}{6}$ y 1. Como $\frac{5}{6}$ es menor que 1, queda en el orden $0 < \frac{5}{6} < 1$. La condición $x > \frac{5}{6}$ es más exigente que $x > 0$, así que manda. Y hay que excluir el 1. Entonces la existencia se cumple para $x$ entre $\frac{5}{6}$ y 1, y para $x$ mayor que 1.

Aplicar la definición

El número es igual a la base elevada al resultado: $6x - 5 = x^2$. Se pasa todo al mismo lado para igualar a cero: $x^2 - 6x + 5 = 0$. Es una ecuación de segundo grado con coeficiente principal 1, coeficiente de $x$ igual a $-6$ y término independiente 5.

Resolver con la fórmula

Se aplica $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$. Las soluciones posibles son $x = \frac{10}{2} = 5$ y $x = \frac{2}{2} = 1$.

Descartar la solución falsa

Hay dos candidatos, pero hay que ver cuáles cumplen la existencia. El 5 está en la zona válida, mayor que 1. El 1 queda excluido, porque la base no puede ser 1. La única solución del ejercicio es $x = 5$. Se comprueba: $\log_5(30 - 5) = \log_5 25 = 2$.

La lección del ejercicio

Este ejercicio muestra por qué no se puede resolver un logaritmo sin mirar la existencia: la ecuación común $x^2 - 6x + 5 = 0$ tiene dos soluciones, pero la ecuación logarítmica original tiene una. Estudiar la existencia al principio es lo que permite descartar el valor falso, y no hay que saltearlo.

Resumen del procedimiento

Los pasos en este tipo de ejercicios son: primero, plantear todas las condiciones de existencia y resumirlas en una recta; segundo, aplicar la definición; tercero, resolver la ecuación que queda, en este caso de segundo grado; y cuarto, validar cada solución contra la recta de existencia. Si hubiese un resultado dentro de la zona entre 0 y $\frac{5}{6}$, también se descartaría, porque ahí el número $6x - 5$ sería negativo.