Ejercicios resueltos en vídeo

Ejercicios resueltos en vídeo

En este repartido vamos a resolver ecuaciones con logaritmos aplicando las propiedades de estos últimos.

En este repartido vamos a resolver ecuaciones con logaritmos aplicando las propiedades de estos últimos. Como TIPS para logaritmos vamos a trabajar las ecuaciones de forma que logremos dejar un logaritmo a cada lado de la igualdad; o en su defecto un logaritmo igual a un número para poder de esa manera aplicar la definición de logaritmos para resolver la ecuación. Logaritmos Resolución de ecuaciones aplicando propiedadesDescarga

El segundo repartido

El segundo repartido reúne ocho ecuaciones con logaritmos que se resuelven aplicando las propiedades. Todas tienen un tramo de transformación con propiedades y otro final con la definición o con la igualdad de argumentos. Los ejercicios son: 1) $\log_3 3x = 2$. 2) $\log_3 x - \log_3 2 = 2$. 3) $\log_3 x^2 = \log_9 4$. 4) $2\log_9 x^2 + \log_3 x = 8$. 5) $\log_3 x^2 + 2\log_9 x = 3\log_{27} 8$. 6) $\log_2 x^2 - 1 = \log_3 27$. 7) $\log_{213} 1 + 2\log_9 x = 2\log_{81} 4$. 8) $\log_{x+2}(x+1) + \log_{x+2}(2x+1) = \log_{x+2}(3x-1)$.

Las respuestas

Los resultados son: 1) $x = 3$. 2) $x = 18$. 3) $x = \sqrt{2}$ o $x = -\sqrt{2}$. 4) $x = 3^{8/3} \approx 18{,}72$. 5) $x = 2$. 6) $x = 4$ o $x = -4$. 7) $x = 2$. 8) no tiene solución.

Ejercicio 6 resuelto: logaritmo de x al cuadrado menos 1

Se plantea $\log_2 x^2 - 1 = \log_3 27$. El lado derecho es fácil de calcular: $3^3 = 27$, así que $\log_3 27 = 3$. Entonces $\log_2 x^2 - 1 = 3$, y pasando el 1 sumando, $\log_2 x^2 = 4$. Por la definición, $x^2 = 2^4 = 16$, de donde $x = 4$ o $x = -4$. La existencia exige $x^2 > 0$, es decir, $x \neq 0$, y las dos soluciones cumplen.

Ejercicio 7 resuelto: con un logaritmo de 1

En $\log_{213} 1 + 2\log_9 x = 2\log_{81} 4$, el primer término vale 0, porque el logaritmo de 1 es 0 en cualquier base. Queda $2\log_9 x = 2\log_{81} 4$, y se simplifica el 2: $\log_9 x = \log_{81} 4$. Como $81 = 9^2$, $\log_{81} 4 = \frac{1}{2}\log_9 4 = \log_9 2$. Entonces $\log_9 x = \log_9 2$, y por igualdad de argumentos, $x = 2$. La existencia exige $x > 0$ y se cumple.

Cómo usar este repartido

Las lecciones siguientes resuelven los ejercicios 1 a 5 y el 8. Los ejercicios 6 y 7 quedan explicados acá, y conviene intentar primero los demás por cuenta propia. Después de resolver cada uno, escribí cuál propiedad usaste en cada paso: es la manera de que el procedimiento quede incorporado.

Cómo se verifican las soluciones

Para verificar una ecuación logarítmica hay que volver a la ecuación original, y no a la que quedó después de aplicar propiedades, porque las propiedades pueden cambiar el dominio. Reemplazá la solución, calculá cada logaritmo y comprobá que los dos lados coincidan. En el ejercicio 6, con $x = 4$: $\log_2 16 - 1 = 4 - 1 = 3$, y $\log_3 27 = 3$. Se cumple. En el ejercicio 7, con $x = 2$: $0 + 2\log_9 2$ y $2\log_{81} 4$ valen lo mismo, $\log_3 2$.

Qué técnica va con cada ejercicio

Los ejercicios 1 y 2 se resuelven con la definición y con la resta. El 3 y el 7 piden igualar argumentos tras cambiar de base. El 4 y el 5 requieren llevar varios logaritmos a base 3. El 6 combina un cálculo directo con la definición. Y el 8 requiere estudiar la existencia con la incógnita en la base. Reconocer cuál es la técnica de cada uno es más importante que memorizar los resultados.