Logaritmos Curso de Propiedades – Ejercicios 3 y 4 del Repartido

Logaritmos Curso de Propiedades – Ejercicios 3 y 4 del Repartido

Logaritmos Curso de Propiedades – Ejercicios 3 y 4 del Repartido.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve los ejercicios 3 y 4 del repartido: $\log_4 x = 2$ y $\log_x 27 = 3$. Son las primeras ecuaciones con una incógnita dentro del logaritmo, y muestran las dos situaciones posibles: la incógnita en el número, y la incógnita en la base. En cada caso, hay que estudiar las condiciones de existencia.

Ejercicio 3: logaritmo de x en base 4 igual a 2

La incógnita ocupa el lugar del número. Por la condición de existencia, $x$ debe ser mayor que 0. Se aplica la definición: $x$ es igual a la base elevada al resultado, $x = 4^2 = 16$. Como 16 es mayor que 0, la solución es correcta.

Ejercicio 4: logaritmo de 27 en base x igual a 3

Acá la incógnita ocupa el lugar de la base. Las condiciones son más exigentes: la base debe ser mayor que 0 y además distinta de 1. Se aplica la definición: $27 = x^3$. Para despejar $x$, se pasa el exponente como raíz: $x = \sqrt[3]{27} = 3$, porque $3 \times 3 \times 3 = 27$. Como 3 es mayor que 0 y distinto de 1, cumple las condiciones, y es la solución.

La diferencia entre los dos ejercicios

En el ejercicio 3, la definición da la incógnita despejada. En el 4, la incógnita está en la base y hay que sacar una raíz. Si la raíz diera una solución como 1 o un número negativo, habría que descartarla. Por eso conviene estudiar la existencia antes de resolver.

Comprobación

Ejercicio 3: $\log_4 16 = 2$ porque $4^2 = 16$. Ejercicio 4: $\log_3 27 = 3$ porque $3^3 = 27$. Las dos coinciden con los enunciados.

Cuando la raíz da dos valores

En una raíz de índice par, como la raíz cuadrada, aparecerían dos soluciones, positiva y negativa, y habría que descartar la negativa por ser base. Si la ecuación fuera $\log_x 25 = 2$, se obtendría $x^2 = 25$, con $x = 5$ o $x = -5$. La base no puede ser negativa, de modo que la única solución es $x = 5$. Practicá con $\log_x 64 = 2$, que da $x = 8$, y con $\log_3 x = 4$, que da $x = 81$.