Definición de Logaritmos para resolver ej. 5

Definición de Logaritmos para resolver ej. 5

Definición de Logaritmos para resolver ej. 5. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 5 del repartido: $\log_3(x+1) = 2$. Es una ecuación logarítmica en la que la incógnita está en una expresión, $x + 1$, y no sola. Eso obliga a estudiar la existencia con más cuidado, porque la condición no se cumple para todos los valores de $x$.

Estudiar la existencia

La base es 3, que es un número real mayor que 0 y distinto de 1, así que no hay problema. El número que se está calculando, $x + 1$, sí depende de la variable, y debe ser mayor que 0. Para saber cuándo, se hace el estudio del signo: la raíz de $x + 1$ es $x = -1$. Se ubica la raíz en la recta y se empieza por la derecha con el signo del coeficiente principal, que es positivo. La expresión es positiva a la derecha de $-1$ y negativa a la izquierda. Entonces la condición de existencia es $x > -1$.

Aplicar la definición

La definición dice que el número es igual a la base elevada al resultado. Entonces $x + 1 = 3^2 = 9$. Pasando el 1 restando, $x = 8$.

Verificar la solución

Se comprueba que 8 está dentro de la zona de existencia: $8 > -1$. Se verifica también reemplazando: $\log_3(8+1) = \log_3 9 = 2$. La solución es válida: $x = 8$.

El estudio del signo

El método del signo es el que se usará en todo el curso para ecuaciones con polinomios dentro del logaritmo. Se hallan las raíces, se las ubica en una recta, y se marcan los signos desde la derecha con el signo del coeficiente principal, alternando al pasar por cada raíz simple. Después se elige la zona donde la expresión es positiva. Para una expresión de primer grado, como $x + 1$, basta con despejar $x + 1 > 0$.

Para practicar

Resolvé $\log_2(x - 3) = 4$: la existencia pide $x > 3$, y la definición da $x - 3 = 16$, así que $x = 19$. Y resolvé $\log_5(2x + 1) = 2$: la existencia pide $x > -\frac{1}{2}$, y la definición da $2x + 1 = 25$, con $x = 12$.

Un error frecuente

Un error habitual es olvidar el paso de la existencia y dar por válida cualquier solución. Acá no pasa nada, porque la única solución, 8, es mayor que $-1$, pero con otro resultado sí podría pasar. Por ejemplo, en $\log_3(x + 1) = -2$, la definición da $x + 1 = \frac{1}{9}$ y $x = -\frac{8}{9}$, que sigue estando dentro de la zona de existencia, porque $-\frac{8}{9} > -1$. El estudio previo te dice de antemano hasta dónde puede llegar la solución.