Ejercicios 1 y 2 del Repartido

Ejercicios 1 y 2 del Repartido

Ejercicios 1 y 2 del Repartido. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve los dos primeros ejercicios del repartido, que piden calcular el valor de un logaritmo: $\log_3 9$ y $\log_2 64$. No hay ninguna incógnita: lo que se busca es el resultado de la operación. Es la forma más directa de usar la definición.

La definición

La definición dice que el logaritmo de un número real $a$ en base $b$ es igual a $c$ si y solo si $a = b^c$. El logaritmo es una de las operaciones inversas de la potenciación. Además, para que exista, $a$ debe ser mayor que 0, y $b$ debe ser mayor que 0 y distinto de 1.

Ejercicio 1: logaritmo de 9 en base 3

Se pregunta a qué exponente hay que elevar 3 para obtener 9. Como $3 \times 3 = 9$, es decir, $3^2 = 9$, el exponente es 2. Entonces $\log_3 9 = 2$. La definición se cumple: $3^2 = 9$.

Ejercicio 2: logaritmo de 64 en base 2

Ahora se pregunta a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 64. Las potencias de 2 son 2, 4, 8, 16, 32 y 64, y 64 es la sexta: $2^6 = 64$. Por lo tanto, $\log_2 64 = 6$.

Cómo hacerlo cuando el número es grande

Si el número es grande, conviene descomponerlo en factores primos o dividirlo reiteradamente por la base. Por ejemplo, 64 dividido entre 2 es 32, luego 16, 8, 4, 2 y 1: son seis divisiones, y el resultado es 6. Esa técnica sirve para calcular logaritmos exactos de cualquier potencia de la base.

Verificar el resultado

Siempre se puede verificar volviendo a la forma exponencial. Si el resultado es correcto, la base elevada al resultado tiene que dar el número del logaritmo. Con $\log_2 64 = 6$, se comprueba $2^6 = 64$, y con $\log_3 9 = 2$, se comprueba $3^2 = 9$.

Para practicar

Calculá $\log_5 125$, que da 3, $\log_2 32$, que da 5, y $\log_{10} 10000$, que da 4. Después, intentá con una base que da un resultado negativo: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$, porque $2^{-3} = \frac{1}{8}$. Con eso estás listo para resolver ecuaciones con logaritmos.