El logaritmo común o logaritmo en base 10

Qué aprenderás en esta clase

El logaritmo común (base 10): cómo se calcula, qué significa y dónde se aplica, con ejemplos como el pH y la escala de Richter.

Qué es el logaritmo común

El logaritmo común es el logaritmo en base 10. Cuando se lo expresa en una ecuación, la base normalmente no se escribe y se usa la palabra $\log$ . Calcular $\log(x)$ equivale a preguntarse: ¿a qué exponente hay que elevar el 10 para obtener $x$ ? Es una pregunta natural en nuestro sistema decimal, y por eso es el logaritmo más antiguo y de uso más extendido en las ciencias aplicadas.

Cómo se calcula con potencias de 10

Cuando el número es una potencia de 10, el cálculo es inmediato: $\log(10) = 1$ , $\log(100) = 2$ , $\log(1000) = 3$ y $\log(10000) = 4$ . Con exponentes negativos, $\log(0{,}1) = -1$ y $\log(0{,}001) = -3$ . Y $\log(1) = 0$ , porque $10^0 = 1$ . Cuando el número no es una potencia de 10, el resultado queda entre dos enteros: $\log(50)$ está entre 1 y 2, porque 50 está entre 10 y 100. Con calculadora, $\log(50) \approx 1{,}699$ .

Para qué se usa

El logaritmo común permite trabajar con cantidades que varían en rangos enormes, como si fueran números chicos. Por eso muchos fenómenos físicos se miden con escalas logarítmicas. La acidez de una solución se mide con el pH, que es $-\log[H^+]$ : una solución con concentración de iones $10^{-7}$ tiene pH 7. La intensidad de un sonido se mide en decibeles, y la magnitud de un terremoto se mide en la escala de Richter, que también es logarítmica. En esas escalas, aumentar una unidad significa multiplicar la cantidad medida por 10.

Una propiedad útil

Como $\log(10^n) = n$ para cualquier exponente $n$ , el logaritmo común de un número en notación científica da directamente el exponente aproximado. Por ejemplo, $3{,}2 \times 10^5$ tiene un logaritmo común un poco mayor que 5, ya que $\log(3{,}2) \approx 0{,}505$ , de modo que da 5,505.

Condiciones de existencia

Como en cualquier logaritmo, el número debe ser positivo: $\log(0)$ y $\log(-5)$ no existen. La base 10 es positiva y distinta de 1, así que cumple siempre las condiciones.

Para practicar

Estimá, sin calculadora, entre qué enteros están $\log(7)$ , $\log(700)$ y $\log(0{,}07)$ . Las respuestas son: entre 0 y 1, entre 2 y 3, y entre $-2$ y $-1$ . Después comprobalo con la calculadora.