Ejercicios 1, 2 y 3 del repartido

Ejercicios 1, 2 y 3 del repartido

Ejercicios 1, 2 y 3 del repartido. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelven los tres primeros ejercicios del repartido de ecuaciones logarítmicas: $\log_3 3x = 2$, $\log_3 x - \log_3 2 = 2$ y $\log_3 x^2 = \log_9 4$. Son los más simples y muestran cada una de las técnicas básicas: aplicar la definición, usar la resta de logaritmos e igualar argumentos después de pasar a la misma base.

Ejercicio 1: logaritmo de 3x en base 3 igual a 2

La existencia pide $3x > 0$, es decir, $x > 0$. Hay un solo logaritmo igual a un número, así que se aplica la definición: $3x = 3^2 = 9$, y $x = 3$. Es positivo, y la solución sirve.

Ejercicio 2: logaritmo de x menos logaritmo de 2 igual a 2

La existencia pide $x > 0$. Por la propiedad de la resta, $\log_3 x - \log_3 2 = \log_3 \frac{x}{2}$. La ecuación queda $\log_3 \frac{x}{2} = 2$, y por definición $\frac{x}{2} = 9$, de donde $x = 18$. Se verifica: $\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 9 = 2$.

Ejercicio 3: logaritmo de x al cuadrado en base 3 igual al logaritmo de 4 en base 9

Hay un logaritmo a cada lado, pero las bases son distintas. Se pasa el lado derecho a base 3. Como $9 = 3^2$, vale $\log_9 4 = \frac{1}{2}\log_3 4 = \log_3 \sqrt{4} = \log_3 2$. La ecuación es $\log_3 x^2 = \log_3 2$, y al tener la misma base se igualan los argumentos: $x^2 = 2$, con $x = \sqrt{2}$ o $x = -\sqrt{2}$.

Verificar las soluciones del ejercicio 3

La existencia pide $x^2 > 0$, es decir, $x \neq 0$, y las dos soluciones cumplen. Aunque el argumento sea $x^2$, el logaritmo existe tanto para $\sqrt{2}$ como para $-\sqrt{2}$, porque en ambos casos $x^2 = 2 > 0$.

Qué técnica usar en cada caso

Si hay un logaritmo igual a un número, se aplica la definición. Si hay varios logaritmos sumando o restando, se los junta con las propiedades antes de aplicar la definición. Si hay un logaritmo a cada lado, se llevan a la misma base y se igualan los argumentos. Practicá con $\log_2 x + \log_2 4 = 5$, que da $x = 8$.

Comprobaciones

Para controlar el ejercicio 1: $\log_3(3 \cdot 3) = \log_3 9 = 2$. Para el 3, con $x = \sqrt{2}$: $\log_3 2$ del lado izquierdo, y $\log_9 4 = \frac{\ln 4}{\ln 9} = \frac{1{,}386}{2{,}197} = 0{,}631$ del lado derecho, que es también $\log_3 2 \approx 0{,}631$. Las verificaciones numéricas son un buen hábito: si dos expresiones que deberían ser iguales dan el mismo número, el planteo es correcto.