Ejercicio Resuelto 4 del repartido Ecuaciones Logarítmicas

Ejercicio Resuelto 4 del repartido Ecuaciones Logarítmicas

Ejercicio Resuelto 4 del repartido Ecuaciones Logarítmicas. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 4: $2\log_9 x^2 + \log_3 x = 8$. Aparecen dos bases distintas, 9 y 3, y un cuadrado dentro de uno de los logaritmos. La idea es llevar todo a base 3 y juntar los términos para obtener un único logaritmo igual a un número.

Existencia

El segundo término es $\log_3 x$, que existe solo si $x > 0$. Esa condición es la que manda en toda la ecuación. Con $x > 0$, el primer término también existe.

Llevar todo a la misma base

La base 9 es $3^2$. Por la propiedad de la base potencia, $\log_{3^2}(a) = \frac{1}{2}\log_3 a$. Entonces $\log_9 x^2 = \frac{1}{2}\log_3 x^2$. Por la propiedad de la potencia, $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$, válida porque $x > 0$. Resulta $\log_9 x^2 = \frac{1}{2}\cdot 2\log_3 x = \log_3 x$.

Reemplazar y resolver

El primer término es $2\log_9 x^2 = 2\log_3 x$. Entonces la ecuación queda $2\log_3 x + \log_3 x = 8$, es decir, $3\log_3 x = 8$. Se despeja $\log_3 x = \frac{8}{3}$, y por la definición, $x = 3^{8/3}$.

Simplificar el resultado

El exponente $\frac{8}{3}$ es $2 + \frac{2}{3}$, así que $3^{8/3} = 3^2 \cdot 3^{2/3} = 9\sqrt[3]{9}$. Como $\sqrt[3]{9} \approx 2{,}08$, el valor es aproximadamente 18,72. Es positivo, así que cumple la existencia. Una verificación: $\log_3 18{,}72 \approx 2{,}667$, que es $\frac{8}{3}$.

Comprobación en la ecuación original

Con $x \approx 18{,}72$: $\log_3 x \approx 2{,}667$, y $2\log_9 x^2 = 2\cdot\frac{\log_3 x^2}{2} = \log_3 x^2 = 5{,}333$. La suma es $5{,}333 + 2{,}667 = 8$, y se cumple la ecuación.

Para tener presente

Cuando una ecuación mezcla bases potencias de la misma base, conviene pasar a la más chica. Y cuando aparece un cuadrado dentro del logaritmo, recordá que solo se puede sacar el exponente como factor si la base del cuadrado es positiva: por eso la existencia viene primero.

Resumen de la técnica

Los pasos son cuatro. Primero, estudiar la existencia. Segundo, llevar todos los logaritmos a la misma base, en este caso 3, con la propiedad de la base potencia. Tercero, sacar los exponentes de los argumentos con la propiedad de la potencia. Y cuarto, juntar los términos semejantes, que acá fueron $2\log_3 x$ y $\log_3 x$, para obtener $3\log_3 x$. El resultado no es un número entero, y no tiene por qué serlo: lo importante es que la expresión sea exacta, $3^{8/3}$, y que el valor aproximado coincida con la verificación.

Una variante para practicar

Resolvé $\log_4 x^2 + \log_2 x = 6$. Con $x > 0$, $\log_4 x^2 = \frac{1}{2}\log_2 x^2 = \log_2 x$, así que la ecuación es $2\log_2 x = 6$ y $x = 2^3 = 8$. Verificalo reemplazando: $\log_4 64 + \log_2 8 = 3 + 3 = 6$.