Ecuaciones logarítmicas – Resolución de Ej. 5

Ecuaciones logarítmicas – Resolución de Ej. 5

Ecuaciones logarítmicas – Resolución de Ej. 5. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 5: $\log_3 x^2 + 2\log_9 x = 3\log_{27} 8$. Aparecen tres bases, 3, 9 y 27, todas potencias de 3, y un número, el 8, que es potencia de 2. La estrategia es llevar los logaritmos a base 3 y reducir a una ecuación simple.

Existencia

El término $\log_9 x$ pide $x > 0$. Con esa condición, $\log_3 x^2$ también existe.

El lado izquierdo

Por la potencia, $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$. Para el segundo término, la base 9 es $3^2$, así que $\log_9 x = \frac{1}{2}\log_3 x$ y entonces $2\log_9 x = \log_3 x$. El lado izquierdo es $2\log_3 x + \log_3 x = 3\log_3 x$.

El lado derecho

Como $27 = 3^3$, se tiene $\log_{27} 8 = \frac{1}{3}\log_3 8$. Además $8 = 2^3$, con lo cual $\log_3 8 = 3\log_3 2$. Entonces $\log_{27} 8 = \frac{1}{3}\cdot 3\log_3 2 = \log_3 2$. El lado derecho es $3\log_3 2$.

Igualar y resolver

La ecuación es $3\log_3 x = 3\log_3 2$. Se divide entre 3 y queda $\log_3 x = \log_3 2$. Los logaritmos son iguales, con la misma base, así que los argumentos también: $x = 2$. Es positivo, y cumple la existencia.

Comprobación

Con $x = 2$: el lado izquierdo es $\log_3 4 + 2\log_9 2$. Como $\log_9 2 = \frac{1}{2}\log_3 2$, esto da $\log_3 4 + \log_3 2 = \log_3 8 \approx 1{,}893$. El lado derecho es $3\log_{27} 8 = 3 \cdot \frac{\log_3 8}{3} = \log_3 8$. Los dos lados coinciden.

Una idea para recordar

Es muy común que, tras llevar todo a la misma base, las constantes se simplifiquen y aparezca la misma expresión a los dos lados. Es un buen indicio de que el planteo está bien. Practicá con $\log_2 x + \log_4 x = 3$: pasando a base 2, queda $\frac{3}{2}\log_2 x = 3$ y $x = 4$.

Qué se aprende de este ejercicio

Hay tres ideas que se repiten en todo el repartido. La primera es que conviene pasar siempre a la base más chica de la que dependen las demás, que acá era 3. La segunda es que un número como 8 se puede escribir como potencia, $2^3$, lo que permite expresar su logaritmo en función de otro más simple. La tercera es que, al final, se espera llegar a un logaritmo a cada lado, de modo que alcance con igualar los argumentos. Si en algún ejercicio no llegás a esa forma, probablemente falte aplicar una de las propiedades.

Un error común

Un error típico es calcular mal el cambio de base y escribir $\log_{27} 8 = 3\log_3 8$, en lugar de $\frac{1}{3}\log_3 8$. La regla es que, si la base es una potencia $c^n$, aparece $\frac{1}{n}$ delante, y no $n$. Para recordarlo, pensá en que una base más grande hace que el logaritmo sea más chico: $\log_{27} 8$ es menor que $\log_3 8$.