Ejercicio 7 del Repartido

Ejercicio 7 del Repartido

Ejercicio 7 del Repartido. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 7 del repartido: $\log_6(x^2 - 13) = 2$. Es parecido al anterior, pero con una diferencia importante: el polinomio de adentro, $x^2 - 13$, sí puede ser negativo. La existencia deja de ser automática y hay que estudiarla.

Estudiar la existencia

La base es 6, una constante, y cumple las condiciones. Para el número, se necesita $x^2 - 13 > 0$. Las raíces salen de $x^2 = 13$, es decir, $x = \pm\sqrt{13}$. Como $\sqrt{13}$ no es racional, se deja expresado, pero conviene saber que vale aproximadamente 3,6: está entre 3 y 4. Con el coeficiente principal positivo, se empieza desde la derecha con el signo más. La expresión es positiva fuera de las raíces. La zona de existencia es $x > \sqrt{13}$ o $x < -\sqrt{13}$.

Aplicar la definición

El número es igual a la base elevada al resultado: $x^2 - 13 = 6^2 = 36$. Pasando el 13 sumando, $x^2 = 49$, y entonces $x = 7$ o $x = -7$.

Verificar las soluciones

Hay que comprobar que cada solución está en la zona de existencia. El 7 es mayor que $\sqrt{13} \approx 3{,}6$, así que sirve. El $-7$ es menor que $-\sqrt{13} \approx -3{,}6$, de modo que también sirve. Las dos soluciones son válidas. Se confirma reemplazando: $49 - 13 = 36$ y $\log_6 36 = 2$.

Qué hubiera pasado con otros números

Si el resultado de resolver la ecuación hubiese sido un valor como $x = 3$, habría que descartarlo: $3^2 - 13 = -4$, que es negativo, y el logaritmo no existe. Estudiar primero la existencia permite decidir de inmediato qué soluciones aceptar, sin depender del cálculo.

Para practicar

Resolvé $\log_2(x^2 - 5) = 2$. La existencia pide $|x| > \sqrt{5}$. La definición da $x^2 - 5 = 4$, así que $x^2 = 9$ y $x = \pm 3$. Como 3 es mayor que $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, las dos soluciones sirven.

Una interpretación gráfica

Las soluciones tienen una interpretación gráfica. La función $y = \log_6(x^2 - 13)$ existe solo fuera del intervalo entre $-\sqrt{13}$ y $\sqrt{13}$, de modo que su gráfica tiene dos ramas, una a cada lado. Resolver la ecuación significa buscar los puntos donde cada rama llega a la altura 2. Por simetría, hay un punto en cada rama, en $x = 7$ y en $x = -7$. Visualizarlo ayuda a entender por qué siempre aparecen soluciones en pares.