Ejercicio 6 del Repartido

Ejercicio 6 del Repartido

Ejercicio 6 del Repartido. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 6 del repartido: $\log_2(x^2 + 7) = 5$. Es la primera ecuación logarítmica con un polinomio de segundo grado adentro. Un consejo general que da el video: cuando hay un logaritmo de un lado y un número real del otro, casi siempre conviene aplicar directamente la definición.

Estudiar la existencia

La base es 2, una constante mayor que 0 y distinta de 1. Lo que hay que estudiar es el número $x^2 + 7$, que debe ser mayor que 0. Para eso se buscan sus raíces: igualarlo a cero daría $x^2 = -7$, que no tiene solución real, por lo que el polinomio no tiene raíces. Como el coeficiente principal es positivo, la expresión $x^2 + 7$ es siempre positiva. De hecho, $x^2$ nunca es negativo, y sumarle 7 asegura que sea mayor que 0. Entonces, la existencia se cumple para todos los reales.

Aplicar la definición

El número es igual a la base elevada al resultado: $x^2 + 7 = 2^5$. Como $2^5 = 32$, queda $x^2 + 7 = 32$. Pasando el 7 restando, $x^2 = 25$, y por lo tanto $x = 5$ o $x = -5$.

Verificar las soluciones

Como la existencia se cumple para cualquier real, las dos soluciones son válidas. Se comprueba reemplazando: con $x = 5$, $25 + 7 = 32$ y $\log_2 32 = 5$. Con $x = -5$, el valor es el mismo, porque $(-5)^2 = 25$. Es una ecuación con dos soluciones, algo que ocurre cada vez que la incógnita aparece al cuadrado.

Por qué aparecen dos soluciones

La función $x^2 + 7$ es simétrica respecto del eje vertical: da el mismo valor para $x$ y para $-x$. Por eso, si un valor es solución, su opuesto también lo es. Esta simetría sirve como control: si resolvés una ecuación de este tipo y encontrás una sola solución, probablemente falta una.

Para practicar

Resolvé $\log_3(x^2 + 9) = 3$. La existencia se cumple siempre, porque $x^2 + 9 > 0$. La definición da $x^2 + 9 = 27$, entonces $x^2 = 18$ y $x = \pm 3\sqrt{2}$.

Cómo se comprueba

Para verificar el resultado, se reemplaza cada solución en el logaritmo y se calcula. Con $x = 5$: $x^2 + 7 = 32$ y $\log_2 32 = 5$, porque $2^5 = 32$. La potencia de 2 que hay que memorizar para este ejercicio es la quinta. Conocer las primeras diez potencias de 2, que son 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1024, resuelve de inmediato muchos de los logaritmos de base 2 de los exámenes.