Ejercicio 8 del Repartido

Ejercicio 8 del Repartido

Ejercicio 8 del Repartido. Del curso Curso de Logaritmos Gratis, resuelta paso a paso.

Qué se resuelve en esta clase

Se resuelve el ejercicio 8: $\log_{x+2}(x+1) + \log_{x+2}(2x+1) = \log_{x+2}(3x-1)$. Es el único del repartido en el que la base y los argumentos dependen de la incógnita, y tiene una particularidad: no tiene solución. Resolverlo muestra por qué hay que ser ordenado.

Estudiar la existencia

Hay varias condiciones. La base debe cumplir $x + 2 > 0$, es decir, $x > -2$, y $x + 2 \neq 1$, es decir, $x \neq -1$. Los argumentos deben ser positivos: $x + 1 > 0$ da $x > -1$; $2x + 1 > 0$ da $x > -\frac{1}{2}$; y $3x - 1 > 0$ da $x > \frac{1}{3}$. La más restrictiva es $x > \frac{1}{3}$, y con ella se cumplen todas las demás.

Aplicar las propiedades

El lado izquierdo tiene una suma de logaritmos de igual base, que es el logaritmo del producto: $\log_{x+2}\left[(x+1)(2x+1)\right]$. La ecuación queda con un logaritmo a cada lado, de igual base. Entonces los argumentos son iguales: $(x+1)(2x+1) = 3x - 1$.

Resolver

Se desarrolla el producto: $2x^2 + x + 2x + 1 = 2x^2 + 3x + 1$. La ecuación es $2x^2 + 3x + 1 = 3x - 1$. Restando $3x$ a los dos lados, $2x^2 + 1 = -1$, y entonces $2x^2 = -2$, que da $x^2 = -1$.

Conclusión

La ecuación $x^2 = -1$ no tiene solución en los números reales, porque un cuadrado nunca es negativo. Por lo tanto, la ecuación logarítmica original no tiene solución. Es un resultado válido: no toda ecuación tiene soluciones, y saber reconocerlo es parte de resolver bien.

Comprobación

Una forma de ver que es correcto es probar un valor dentro de la zona de existencia, como $x = 1$: el lado izquierdo es $\log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 6 \approx 1{,}63$, y el derecho es $\log_3 2 \approx 0{,}63$. No coinciden. Y como el lado izquierdo siempre es mayor, nunca se igualan.

Para tener presente

El ejercicio enseña tres cosas: la existencia se estudia antes de resolver, la suma de logaritmos se junta en un producto, y una ecuación puede quedar sin solución. Si en un examen te encontrás con un resultado así, revisá los cálculos una vez y, si están bien, escribí que no tiene solución.

Moraleja y práctica

La moraleja es que el método sirve incluso cuando el resultado es negativo: aplicar las propiedades, igualar los argumentos y resolver la ecuación que queda dice con certeza si hay solución o no. Si la ecuación hubiera quedado, por ejemplo, $2x^2 = 2$, habría dos candidatos, $x = 1$ y $x = -1$: la existencia descartaría el $-1$, porque exige $x > \frac{1}{3}$, y aceptaría el 1. Para practicar con un caso que sí tiene solución, probá $\log_x(x+2) + \log_x(x) = \log_x(6x - 3)$: el producto da $x^2 + 2x = 6x - 3$, es decir, $x^2 - 4x + 3 = 0$, con raíces 1 y 3. La base no puede ser 1, así que la solución es $x = 3$.