CÁLCULO 1b – FCEA

Curso de Cálculo 1B

Función Inversa

1\. ¿Qué es una función inversa?

Concepto básico:

Una función inversa es como el «deshacer» de una función. Si una función toma un valor de entrada, hace algo con él (como multiplicarlo o sumarle algo) y da un resultado, la función inversa toma ese resultado y lo devuelve al número original.

Ejemplo sencillo:

Imagina que tienes una función que suma 5 a cualquier número:

• Función original:

f(x) = x + 5

Si le das 3 como entrada:
f(3) = 3 + 5 = 8

La función inversa deshace esa operación. Como el resultado fue 8, la inversa se pregunta:
«¿Qué número tenía antes de sumarle 5 para obtener 8?»

La respuesta es 3, y esa es la magia de la función inversa.

• Función inversa:

f⁻¹(x) = x – 5

Si ahora le das 8 a la inversa:
f⁻¹(8) = 8 – 5 = 3

Relación importante:

Si tienes una función $f$ y su inversa $f^{-1}$, se cumple que:

1. $$f(f^{-1}(x)) = x$$

Esto significa que si aplicas la inversa primero y luego la función original, vuelves al valor inicial.

1. $$f^{-1}(f(x)) = x$$

Si aplicas la función original primero y luego la inversa, también vuelves al valor inicial.

2\. Condiciones para que exista la función inversa

No todas las funciones tienen una inversa. Hay algunas condiciones importantes que deben cumplirse:

2.1 Debe ser inyectiva

Esto significa que la función no puede dar el mismo resultado para dos entradas diferentes. Dicho de otra forma, cada $y$ en la salida debe corresponder a un único $x$ en la entrada.

• Ejemplo de una función inyectiva: $f(x) = 2x + 3$.

  $$f(x) = 2x + 3$$

Si $x_1 = 2$ y $x_2 = 5$, no hay manera de que $f(x_1)$ y $f(x_2)$ den el mismo resultado.

• Ejemplo de una función no inyectiva: $f(x) = x^2$.

  $$f(x) = x^2$$

Si $x_1 = 2$ y $x_2 = -2$, entonces dos valores diferentes de $x$ producen el mismo resultado, así que no puede tener una inversa.

2.2 Debe ser sobreyectiva

Esto significa que la función debe cubrir todos los valores posibles de salida (es decir, que cada valor en el rango tiene un pre-imagen en el dominio).

• Ejemplo:

Si tienes $f(x) = 2x + 3$ y el rango es todos los números reales ($\mathbb{R}$), entonces es sobreyectiva porque cualquier número real puede ser el resultado de la función.

2.3 Debe ser biyectiva

Una función que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo se llama biyectiva, y solo las funciones biyectivas tienen inversas.

3\. Cómo encontrar la función inversa

Para encontrar la inversa de una función, sigue estos pasos:

1. Escribe la ecuación de la función, pero cambia $f(x)$ por $y$.

   $$f(x)$$
   $$y$$

Por ejemplo: $y = f(x)$ se convierte en $y = 2x+3$.

1. Intercambia $x$ y $y$. Esto refleja el proceso de invertir la función.

   $$x$$
   $$y$$

$y = 2x+3$ se convierte en $x = 2y+3$.

1. Resuelve para $y$.

   $$y$$

$x - 3 = 2y$ → $\frac{x-3}{2} = y$ → $y = \frac{x-3}{2}$.

1. Escribe la inversa como $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$.

   $$f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$$

Entonces, $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$.

4\. Derivada de la función inversa

Cuando trabajamos con funciones inversas en cálculo, hay una fórmula para encontrar la derivada de la inversa sin necesidad de calcularla directamente.

Fórmula:

Si $f$ es una función con derivada $f'(x)$, y $f^{-1}$ es su inversa, entonces:

¿Qué significa esto?

La derivada de la inversa en un punto se calcula tomando la derivada de la función original en el punto correspondiente y luego haciendo el recíproco (es decir, $1$ dividido por ese valor).

Ejemplo:

Supongamos que $f(x) = x^3 + 1$.

1. Derivada de $f(x)$:

   $$f'(x) = 3x^2$$

$f'(x) = 3x^2$.

1. La inversa de $f(x)$ es $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-1}$.

   $$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-1}$$
   $$f^{-1}(9) = 2$$

2. Usamos la fórmula:

Sustituyendo:

• $(f^{-1})'(9) = \frac{1}{f'(f^{-1}(9))} = \frac{1}{f'(2)}$.

  $$(f^{-1})'(9) = \frac{1}{f'(f^{-1}(9))} = \frac{1}{f'(2)}$$

• $f'(2) = 3(2)^2 = 12$, así que:

  $$f'(2) = 3(2)^2 = 12$$

5\. Resumen práctico

1. Función inversa: «Deshace» lo que hace la función original.

2. Condiciones para existir:

1. Debe ser inyectiva (no dos valores $x$ distintos pueden dar el mismo $f(x)$).

   $$x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$$
   $$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$$

1. Debe ser sobreyectiva (debe cubrir todo el rango posible).

1. Si es biyectiva, tiene inversa.

2. Cómo encontrar la inversa:

1. Intercambia $x$ y $y$ en la ecuación.

   $$x$$
   $$y$$

2. Resuelve para $y$.

   $$y$$

3. Derivada de la inversa: Usa la fórmula

Ejercicio 1

Polinomio de Taylor

1. ¿Qué es el polinomio de Taylor?
Idea básica:
El polinomio de Taylor nos ayuda a aproximar una función complicada con un polinomio más sencillo. Lo que hace es tomar una función $f(x)$, analizar cómo cambia cerca de un punto $a$, y construir un polinomio que se parezca mucho a la función en esa región.
Este polinomio usa las derivadas de la función $f(x)$ en el punto $a$ para construir la aproximación.
La fórmula:
El polinomio de Taylor de grado $n$ de una función $f(x)$ en torno a un punto $a$ es:

Donde:

$f(a)$ es el valor de la función en el punto $a$,
$f'(a)$, $f''(a)$, $f^{(3)}(a)$, …, son las derivadas evaluadas en $a$,
$(x-a)$ es la distancia desde $x$ al punto $a$,

$n!$ significa «factorial de $n$«, que es el producto de todos los números desde $1$ hasta $n$.

2. ¿Qué es el polinomio de Maclaurin?
El polinomio de Maclaurin es un caso especial del polinomio de Taylor. Es lo mismo, pero cuando el punto $a=0$. Es decir, se aproxima la función alrededor del origen ($x=0$).
La fórmula:
El polinomio de Maclaurin de grado $n$ es:

3. ¿Por qué son útiles?
Taylor y Maclaurin son muy útiles porque algunas funciones, como $e^x$, $\sin(x)$, $\cos(x)$, o $\ln(x)$, son difíciles de trabajar directamente. Los polinomios de Taylor y Maclaurin nos permiten aproximar estas funciones con polinomios más simples que son fáciles de calcular.

4. Ejemplos del polinomio de Taylor

Ejemplo 1: Taylor de $f(x) = e^x$ en $a = 1$, con grado 2
Queremos aproximar $e^x$ cerca de $x = 1$ con un polinomio de grado 2.
La función es $f(x) = e^x$.
Derivadas:
$f'(x) = e^x$,
$f''(x) = e^x$,
$f^{(3)}(x) = e^x$, etc.
Evaluamos en $a = 1$:

$f(1) = e^1 = e$,
$f'(1) = e^1 = e$,
$f''(1) = e^1 = e$.
Usamos la fórmula de Taylor hasta el grado 2:

Sustituyendo:

Así, el polinomio de Taylor es:

Ejemplo 2: Taylor de $f(x) = \ln(x)$ en $a = 1$, con grado 3
Queremos aproximar $\ln(x)$ cerca de $x = 1$.
La función es $f(x) = \ln(x)$.
Derivadas:
$f'(x) = \frac{1}{x}$,
$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$,
$f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3}$, etc.
Evaluamos en $a = 1$:

$f(1) = \ln(1) = 0$,
$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$,
$f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$,
$f^{(3)}(1) = \frac{2}{1^3} = 2$.
Usamos la fórmula de Taylor hasta el grado 3:

Sustituyendo:

Simplificando:

Ejemplo 3: Taylor de $f(x) = e^{2x}$ en $a = 1/2$, con grado 2
Queremos aproximar $e^{2x}$ cerca de $x = 1/2$.
La función es $f(x) = e^{2x}$.
Derivadas:
$f'(x) = 2e^{2x}$,
$f''(x) = 4e^{2x}$,
$f^{(3)}(x) = 8e^{2x}$, etc.
Evaluamos en $a = 1/2$:

$f(1/2) = e^{2(1/2)} = e$,
$f'(1/2) = 2e^{2(1/2)} = 2e$,
$f''(1/2) = 4e^{2(1/2)} = 4e$.
Usamos la fórmula de Taylor hasta el grado 2:

Sustituyendo:

5. Ejemplos del polinomio de Maclaurin

Ejemplo 1: $f(x) = e^x$ con grado 3
Derivadas:
$f'(x) = e^x$,
$f''(x) = e^x$,
$f^{(3)}(x) = e^x$.
Evaluamos en $x = 0$:

$f(0) = 1$,
$f'(0) = 1$,
$f''(0) = 1$,
$f^{(3)}(0) = 1$.
Fórmula:

Simplificando:

Ejemplo 2: $f(x) = \sin(x)$ con grado 3
Derivadas:
$f'(x) = \cos(x)$,
$f''(x) = -\sin(x)$,
$f^{(3)}(x) = -\cos(x)$.
Evaluamos en $x = 0$:

$f(0) = 0$,
$f'(0) = 1$,
$f''(0) = 0$,
$f^{(3)}(0) = -1$.
Fórmula:

Simplificando:

Ejemplo 3: $f(x) = e^{2x}$ con grado 4
Derivadas:
$f'(x) = 2e^{2x}$,
$f''(x) = 4e^{2x}$,
$f^{(3)}(x) = 8e^{2x}$,
$f^{(4)}(x) = 16e^{2x}$.
Evaluamos en $x = 0$:

$f(0) = 1$,
$f'(0) = 2$,
$f''(0) = 4$,
$f^{(3)}(0) = 8$,
$f^{(4)}(0) = 16$.
Fórmula:

Simplificando:

Ejercicio de Taylor

Ejercicio 3 Polinomios de Taylor

Ej. 4 Polinomio de Taylor

Ejercicio 5 Polinomio de Taylor

Ejercicio 6 Polinomio de Taylor

Ejercicio 7

Series

Series – Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Integrales

Integrales de Funciones por Intervalos

12 EJERCICIO

Integrales Propiedades

13 EJERCICIO

Cálculo de Primitivas

14 EJERCICIO

15 EJERCICIO

Barrow – Cálculo Integral

EJERCICIO 16

Área entre 2 funciones

EJERCICIO 17

18 EJERCICIO

EJERCICIO 19

Integración por Partes

Teorema de Integración por Partes

Teorema de Integración por Partes – PROFEonline.uy

EJERCICIO 20

Integrales por Sustitución

EJERCICIO 21

EJERCICIO 22

Integrales por Fracciones Simples

CÁLCULO de INTEGRALES por Fracciones parciales

En el cálculo de integrales de funciones las cuales son cocientes de polinomios de la forma siguiente:

 debemos comparar los grados de ambos polinomios:

Pueden presentarse dos casos:

1. Si el grado del numerador P(x) es mayor o igual que el grado del denominador D(x); primero debemos dividir los polinomios obteniendo un cociente Q(x) y un resto R(x) y planteamos lo siguiente;  donde en esta última integral planteamos fracciones simples

   

2. Si el grado del numerador P(x) es menor que el grado del denominador D(x); entonces aplicamos directamente el método de fracciones simples. 

Método de Separación en Fracciones Simples

Separar en fracciones simples un cociente de polinomios consiste en lo siguiente:

 vamos a realizar los siguientes pasos

Calculamos todas las raíces del divisor D(x) y planteamos su descomposición factorial como hemos aprendido en años anteriores. Pueden suceder tres casos diferentes:

1. Todas las raíces son simples entonces el polinomio D(x) nos queda  y entonces se plantea lo siguiente:  y calculamos las constantes A, B . . . por diferentes métodos matemáticos que veremos en los ejercicios.

   

2. Existen raíces múltiples; por cada grado de multiplicidad agregamos un término

• Raíz doble queda 

  

• Si es Raíz triple queda 

  

1. Si existen raíces imaginarias nos queda de la forma siguiente:

Ejemplo Resuelto de una Integral por fracciones simples

Si observamos el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del denominador; por lo tanto separamos en fracciones simples:

Ahora vamos a calcular las constantes _A_ y _B_, damos valores a _x_ en la igualdad anterior.

Posteriormente podemos escribir la integral como una suma; entonces aplicando propiedades, lo podemos expresar como una suma de integrales:

EJERCICIO 23

Integrales Impropias

Introducción al cálculo de Integrales Impropias de Primera Especie, características y procedimiento de cálculo de las mismas

Ejercicio 24

Ejercicio 25

Criterios de comparación para la clasificación de integrales impropias

Ejercicio 26

Criterio de la armónica

Ejercicio 27

Criterio de comparación

Ejercicio 28

Criterio de comparación por paso al límite

Ejercicio 29

Criterio del equivalente

Integrales impropias de segunda especie

Ejercicio 30

EJERCICIO 31

32 EJERCICIO

EJERCICIO 33

34 EJERCICIO

EJERCICIO 35

36 EJERCICIO

EJERCICIO 37

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

EJERCICIO 38