Potencia de Fracciones

Qué aprenderás en esta clase

Ejercicios 11 y 12 Resueltos en vídeo abajo Transcripción del vídeo de los ejercicios resueltos 11 y 12 Hola, cómo están?

Qué es elevar una fracción a una potencia

Elevar una fracción a una potencia significa multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente. Escribir $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ equivale a $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}$ . Esta clase presenta el texto de los ejercicios 11 y 12 del repartido, que se resuelven en el video del curso, y es la última operación del curso.

La regla de la potencia de una fracción

La potencia de una fracción es la fracción de las potencias: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ . Se eleva el numerador al exponente y, por separado, se eleva el denominador. De esta manera se evita multiplicar fracciones varias veces y se aplican directamente las propiedades de las potencias.

Ejemplos del repartido

En el ejercicio 11 se pide dos tercios elevado al cubo. Se calcula $2^3 = 8$ y $3^3 = 27$ , y el resultado es $\frac{8}{27}$ . En el ejercicio 12 se pide dos séptimos elevado al cubo: $2^3 = 8$ y $7^3 = 343$ , con lo cual el resultado es $\frac{8}{343}$ .

Qué pasa con los exponentes negativos

Con un exponente negativo, la fracción se invierte y el exponente pasa a ser positivo: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ . Es una propiedad que se usa mucho en álgebra y conviene conocerla desde ahora, aunque los ejercicios del repartido solo usan exponentes positivos.

Casos especiales

Cualquier fracción elevada a la 1 es ella misma, y elevada a la 0 vale 1, siempre que la fracción no sea cero. Si el exponente es par y la base es negativa, el resultado es positivo, y si el exponente es impar, el resultado es negativo. Por ejemplo, $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$ .

Comprobación y práctica

Si la fracción es menor que 1, la potencia con exponente positivo tiene que dar un resultado más chico que la fracción original. Si no ocurre así, hay un error. Para practicar, calculá $\left(\frac{3}{5}\right)^2$ , que da $\frac{9}{25}$ , y $\left(\frac{1}{2}\right)^4$ , que da $\frac{1}{16}$ , y comprobá cada resultado multiplicando la fracción por sí misma.

Para repasar

La regla de esta clase es la más corta del curso: el exponente se reparte entre el numerador y el denominador. Con eso se resuelven todas las potencias enteras positivas de una fracción, y también las negativas si se invierte primero la fracción. Para fijarlo, escribí una tabla con las potencias 1, 2, 3 y 4 de $\frac{2}{3}$ , que son $\frac{2}{3}$ , $\frac{4}{9}$ , $\frac{8}{27}$ y $\frac{16}{81}$ , y observá cómo la fracción se achica en cada paso.