Ejercicio 7

El ejercicio de esta clase

Para el lanzamiento de un producto, el equipo de comercialización determinó que el volumen de ventas, en miles de unidades, depende del tiempo transcurrido desde el lanzamiento, en meses, y de la cantidad mensual invertida en publicidad, en dólares. La relación se da mediante una ecuación que combina ambas variables. El enunciado tiene tres partes.

Qué se practica

En la primera hay que determinar el tope de ventas que puede esperarse y justificar el resultado, lo que lleva a estudiar el comportamiento de la función cuando una de las variables crece sin límite. En la segunda se calculan las derivadas parciales respecto del tiempo y de la inversión, y se interpreta económicamente su signo: si más tiempo o más publicidad aumentan o disminuyen las ventas. En la tercera se evalúan esas derivadas a los 5 meses del lanzamiento con una inversión de 500 dólares y se interpretan los valores con sus unidades. Combina límites, derivadas parciales y lectura económica.

El tema del módulo: Introducción

Este curso trabaja con funciones de varias variables y sus aplicaciones, en particular a la economía. Una función de dos variables, $z = f(x, y)$, asigna un valor a cada par de números, y sirve para modelar situaciones en las que un resultado depende de más de un factor: las ventas dependen de lo que se gasta en publicidad en dos medios, la utilidad depende de lo que se produce de dos artículos. La herramienta central es la derivada parcial, que mide cómo cambia la función cuando se mueve una sola variable y la otra se mantiene fija. Con ella se interpreta el efecto marginal de cada factor, se estiman cambios pequeños con una aproximación lineal y se comparan alternativas de inversión.

Ideas que se usan en este tema

La derivada parcial respecto de $x$ se calcula derivando como si $y$ fuera una constante, con las mismas reglas de derivación de una variable: la regla del producto, la del cociente y la de la cadena.

El valor de $f_x(a, b)$ es la variación aproximada de la función por cada unidad adicional de $x$ en el punto $(a, b)$; en un problema económico es el efecto marginal de esa variable, y se interpreta con sus unidades.

Para estimar un cambio pequeño de la función se usa la aproximación lineal: $\Delta f \approx f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y$. Es una estimación, y puede subestimar o sobrestimar el cambio real según la curvatura de la función.

Errores frecuentes

Confundir el valor de la función con el valor de la derivada parcial: la primera es el nivel, la segunda es el ritmo de cambio.

Dar por exacta la estimación con derivadas parciales: es una aproximación, y la comparación con el cambio real es parte de lo que se pide analizar.