Ejercicio 8

El ejercicio de esta clase

Se define una función $g(x, y)$ como una potencia $x^n$ multiplicada por una función derivable $f$ evaluada en el cociente $\frac{y}{x}$, y se pide probar una igualdad que relaciona las derivadas parciales de $g$ con la propia $g$: $x\,g_x + y\,g_y = n\,g$. Es un resultado conocido como relación de Euler para funciones homogéneas de grado $n$.

Qué se practica

Se calculan las dos derivadas parciales de $g$ con la regla del producto y la regla de la cadena, derivando el cociente $\frac{y}{x}$ respecto de cada variable. Después se multiplican por $x$ y por $y$, respectivamente, se suman y se simplifican los términos hasta obtener $n$ por $g$. Es un ejercicio de álgebra cuidadosa con una función genérica, en el que se ve cómo se cancelan los términos con $f'$. Tiene aplicaciones en economía, porque las funciones de producción homogéneas son un modelo habitual.

El tema del módulo: Introducción

Una función de varias variables describe cómo un resultado depende de dos o más magnitudes a la vez. En economía aparece en todas partes: una cantidad vendida que depende de varios gastos, un costo que depende de varias producciones, una utilidad que depende de los precios y de las cantidades. Para estudiarla se usan derivadas parciales, que se calculan derivando respecto de una variable y tratando a las demás como constantes. Su valor en un punto indica cuánto cambia, aproximadamente, el resultado por cada unidad adicional de esa variable, y su signo dice si el efecto es favorable o desfavorable. Ese es el lenguaje con el que se interpretan los resultados en los ejercicios de este curso.

Ideas que se usan en este tema

Para estimar un cambio pequeño de la función se usa la aproximación lineal: $\Delta f \approx f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y$. Es una estimación, y puede subestimar o sobrestimar el cambio real según la curvatura de la función.

Para comparar dos alternativas, por ejemplo invertir una unidad más en un medio o en otro, se comparan los valores de las derivadas parciales en el punto de partida, siempre con las mismas unidades.

Las derivadas parciales de segundo orden, como $f_{xx}$ y $f_{xy}$, describen cómo cambia el efecto marginal; en funciones suficientemente regulares las derivadas cruzadas coinciden.

Errores frecuentes

Dar por exacta la estimación con derivadas parciales: es una aproximación, y la comparación con el cambio real es parte de lo que se pide analizar.

Derivar respecto de una variable sin tratar a la otra como constante, o al revés, derivarla también y obtener un resultado de otra función.