Ejercicio 6

El ejercicio de esta clase

El enunciado dice que $f$ es una función derivable de una variable, y pide la forma genérica de las derivadas parciales de tres funciones de dos variables construidas a partir de $f$, aplicándola sobre expresiones que dependen de $x$ y de $y$. No se conoce una fórmula para $f$, así que el resultado se escribe en términos de $f'$.

Qué se practica

Es el ejercicio de la regla de la cadena en varias variables. Para cada función hay que identificar qué está adentro de $f$, derivar esa expresión parcialmente respecto de la variable que corresponda y multiplicar por $f'$ evaluada en lo de adentro. Cuando la función combina a $f$ con otros factores, también interviene la regla del producto. Lo que se aprende es a operar con una función genérica, que es la base para demostrar identidades y para trabajar con funciones homogéneas, como en el ejercicio siguiente.

El tema del módulo: Introducción

Una función de varias variables describe cómo un resultado depende de dos o más magnitudes a la vez. En economía aparece en todas partes: una cantidad vendida que depende de varios gastos, un costo que depende de varias producciones, una utilidad que depende de los precios y de las cantidades. Para estudiarla se usan derivadas parciales, que se calculan derivando respecto de una variable y tratando a las demás como constantes. Su valor en un punto indica cuánto cambia, aproximadamente, el resultado por cada unidad adicional de esa variable, y su signo dice si el efecto es favorable o desfavorable. Ese es el lenguaje con el que se interpretan los resultados en los ejercicios de este curso.

Ideas que se usan en este tema

Las derivadas parciales de segundo orden, como $f_{xx}$ y $f_{xy}$, describen cómo cambia el efecto marginal; en funciones suficientemente regulares las derivadas cruzadas coinciden.

Cuando la función se arma como una composición, la regla de la cadena indica cómo derivar parcialmente: se deriva la función de afuera y se multiplica por la derivada parcial de lo de adentro.

La derivada parcial respecto de $x$ se calcula derivando como si $y$ fuera una constante, con las mismas reglas de derivación de una variable: la regla del producto, la del cociente y la de la cadena.

Errores frecuentes

Olvidar las unidades al interpretar una derivada parcial: si $x$ se mide en miles de dólares, el resultado es por cada mil dólares, y no por cada dólar.

Confundir el valor de la función con el valor de la derivada parcial: la primera es el nivel, la segunda es el ritmo de cambio.