Ejercicio 5

El ejercicio de esta clase

Se da una función de dos variables formada por dos términos, cada uno un producto de una variable por una exponencial de la otra variable con exponente negativo, y se pide probar que la suma de las derivadas parciales segundas respecto de cada variable es igual a la propia función. Es una demostración, y no un cálculo con números.

Qué se practica

El trabajo se organiza en tres pasos: calcular las derivadas parciales primeras respecto de $x$ y de $y$, derivar cada una de nuevo para obtener $f_{xx}$ y $f_{yy}$, y sumarlas para compararlas con la función original. Se practica la derivación parcial repetida y la agrupación de términos para reconocer la función de partida. También entrena un hábito importante, el de verificar una identidad desarrollando un lado y llegando al otro, sin dar nada por supuesto.

El tema del módulo: Introducción

Este curso trabaja con funciones de varias variables y sus aplicaciones, en particular a la economía. Una función de dos variables, $z = f(x, y)$, asigna un valor a cada par de números, y sirve para modelar situaciones en las que un resultado depende de más de un factor: las ventas dependen de lo que se gasta en publicidad en dos medios, la utilidad depende de lo que se produce de dos artículos. La herramienta central es la derivada parcial, que mide cómo cambia la función cuando se mueve una sola variable y la otra se mantiene fija. Con ella se interpreta el efecto marginal de cada factor, se estiman cambios pequeños con una aproximación lineal y se comparan alternativas de inversión.

Ideas que se usan en este tema

Para estimar un cambio pequeño de la función se usa la aproximación lineal: $\Delta f \approx f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y$. Es una estimación, y puede subestimar o sobrestimar el cambio real según la curvatura de la función.

Para comparar dos alternativas, por ejemplo invertir una unidad más en un medio o en otro, se comparan los valores de las derivadas parciales en el punto de partida, siempre con las mismas unidades.

Las derivadas parciales de segundo orden, como $f_{xx}$ y $f_{xy}$, describen cómo cambia el efecto marginal; en funciones suficientemente regulares las derivadas cruzadas coinciden.

Errores frecuentes

Derivar respecto de una variable sin tratar a la otra como constante, o al revés, derivarla también y obtener un resultado de otra función.

Olvidar las unidades al interpretar una derivada parcial: si $x$ se mide en miles de dólares, el resultado es por cada mil dólares, y no por cada dólar.