Ejercicio 4

El ejercicio de esta clase

En lugar de derivar, acá se hace el camino inverso. Se dan las dos derivadas parciales de una función, $f_x$ y $f_y$, ambas expresiones lineales en $x$ e $y$, y un valor de la función en un punto, y se pide obtener la función. Es un problema de reconstrucción: con la información de cómo cambia la función en cada dirección, se busca la función misma.

Qué se practica

La técnica consiste en integrar una de las derivadas parciales respecto de su variable, lo que deja una constante de integración que puede depender de la otra variable. Luego se deriva el resultado respecto de la otra variable y se lo compara con la segunda derivada parcial dada, lo que determina esa función desconocida. Por último, el valor dado de la función en un punto fija la constante final. Es un buen ejercicio para entender la relación entre una función y sus derivadas parciales, y para verificar la coherencia de los datos.

El tema del módulo: Introducción

Una función de varias variables describe cómo un resultado depende de dos o más magnitudes a la vez. En economía aparece en todas partes: una cantidad vendida que depende de varios gastos, un costo que depende de varias producciones, una utilidad que depende de los precios y de las cantidades. Para estudiarla se usan derivadas parciales, que se calculan derivando respecto de una variable y tratando a las demás como constantes. Su valor en un punto indica cuánto cambia, aproximadamente, el resultado por cada unidad adicional de esa variable, y su signo dice si el efecto es favorable o desfavorable. Ese es el lenguaje con el que se interpretan los resultados en los ejercicios de este curso.

Ideas que se usan en este tema

La derivada parcial respecto de $x$ se calcula derivando como si $y$ fuera una constante, con las mismas reglas de derivación de una variable: la regla del producto, la del cociente y la de la cadena.

El valor de $f_x(a, b)$ es la variación aproximada de la función por cada unidad adicional de $x$ en el punto $(a, b)$; en un problema económico es el efecto marginal de esa variable, y se interpreta con sus unidades.

Para estimar un cambio pequeño de la función se usa la aproximación lineal: $\Delta f \approx f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y$. Es una estimación, y puede subestimar o sobrestimar el cambio real según la curvatura de la función.

Errores frecuentes

Dar por exacta la estimación con derivadas parciales: es una aproximación, y la comparación con el cambio real es parte de lo que se pide analizar.

Derivar respecto de una variable sin tratar a la otra como constante, o al revés, derivarla también y obtener un resultado de otra función.