Ejercicio 3

El ejercicio de esta clase

El ejercicio pide hallar las dos derivadas parciales, $f_x(x, y)$ y $f_y(x, y)$, de seis funciones de dos variables. Son funciones de distinto tipo: un producto de potencias, una raíz cuadrada de una diferencia de cuadrados, una exponencial cuyo exponente es una suma, una raíz que contiene una exponencial, un producto de un polinomio por un logaritmo y una raíz de un monomio.

Qué se practica

Es la clase de práctica de cálculo de derivadas parciales. Cada función obliga a usar una regla distinta: la de la potencia, la de la cadena en las raíces y en la exponencial, y la del producto cuando aparece un polinomio multiplicando a un logaritmo. Lo central es la disciplina de derivar respecto de una variable considerando a la otra una constante. Es un ejercicio de entrenamiento previo a los problemas de interpretación económica de las otras clases.

El tema del módulo: Introducción

Este curso trabaja con funciones de varias variables y sus aplicaciones, en particular a la economía. Una función de dos variables, $z = f(x, y)$, asigna un valor a cada par de números, y sirve para modelar situaciones en las que un resultado depende de más de un factor: las ventas dependen de lo que se gasta en publicidad en dos medios, la utilidad depende de lo que se produce de dos artículos. La herramienta central es la derivada parcial, que mide cómo cambia la función cuando se mueve una sola variable y la otra se mantiene fija. Con ella se interpreta el efecto marginal de cada factor, se estiman cambios pequeños con una aproximación lineal y se comparan alternativas de inversión.

Ideas que se usan en este tema

Las derivadas parciales de segundo orden, como $f_{xx}$ y $f_{xy}$, describen cómo cambia el efecto marginal; en funciones suficientemente regulares las derivadas cruzadas coinciden.

Cuando la función se arma como una composición, la regla de la cadena indica cómo derivar parcialmente: se deriva la función de afuera y se multiplica por la derivada parcial de lo de adentro.

La derivada parcial respecto de $x$ se calcula derivando como si $y$ fuera una constante, con las mismas reglas de derivación de una variable: la regla del producto, la del cociente y la de la cadena.

Errores frecuentes

Confundir el valor de la función con el valor de la derivada parcial: la primera es el nivel, la segunda es el ritmo de cambio.

Dar por exacta la estimación con derivadas parciales: es una aproximación, y la comparación con el cambio real es parte de lo que se pide analizar.