Ejercicio 2

El problema de esta clase

Una empresa produce y vende dos artículos, A y B. Los precios dependen de las cantidades vendidas de ambos, y se dan como funciones lineales de las cantidades $x$ e $y$. También se da una función de costo conjunto, que es lineal: un costo por unidad de cada artículo más un costo fijo. Con eso se plantean tres preguntas encadenadas sobre la utilidad de la empresa.

Qué se practica

En el primer inciso hay que construir la función de utilidad conjunta, que es el ingreso total, la suma de precio por cantidad para cada artículo, menos el costo. Es un trabajo de modelado antes que de derivación. En el segundo se usa el valor de la utilidad en un punto y las derivadas parciales para decidir un aumento unitario de cuál artículo tiene mayor impacto. En el tercero se usa la aproximación lineal con las derivadas parciales para estimar la utilidad cuando la producción de ambos artículos sube una unidad, sin recalcular la función completa. Se trabaja la interpretación económica de cada resultado.

El tema del módulo: Introducción

Una función de varias variables describe cómo un resultado depende de dos o más magnitudes a la vez. En economía aparece en todas partes: una cantidad vendida que depende de varios gastos, un costo que depende de varias producciones, una utilidad que depende de los precios y de las cantidades. Para estudiarla se usan derivadas parciales, que se calculan derivando respecto de una variable y tratando a las demás como constantes. Su valor en un punto indica cuánto cambia, aproximadamente, el resultado por cada unidad adicional de esa variable, y su signo dice si el efecto es favorable o desfavorable. Ese es el lenguaje con el que se interpretan los resultados en los ejercicios de este curso.

Ideas que se usan en este tema

Para estimar un cambio pequeño de la función se usa la aproximación lineal: $\Delta f \approx f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y$. Es una estimación, y puede subestimar o sobrestimar el cambio real según la curvatura de la función.

Para comparar dos alternativas, por ejemplo invertir una unidad más en un medio o en otro, se comparan los valores de las derivadas parciales en el punto de partida, siempre con las mismas unidades.

Las derivadas parciales de segundo orden, como $f_{xx}$ y $f_{xy}$, describen cómo cambia el efecto marginal; en funciones suficientemente regulares las derivadas cruzadas coinciden.

Errores frecuentes

Olvidar las unidades al interpretar una derivada parcial: si $x$ se mide en miles de dólares, el resultado es por cada mil dólares, y no por cada dólar.

Confundir el valor de la función con el valor de la derivada parcial: la primera es el nivel, la segunda es el ritmo de cambio.