Introducción

El problema de esta clase

La clase abre el curso con un problema de economía de empresa. Una compañía estima que sus ventas anuales, $z$, son una función de los gastos en publicidad por televisión, $x$, y por radio, $y$, ambos medidos en miles de dólares. La función específica es un polinomio de segundo grado: tiene términos lineales, términos cuadráticos en cada variable y un término cruzado que mezcla las dos. Se piden cuatro cosas: calcular las ventas esperadas para un gasto dado, medir cuánto crecen si se agrega una cantidad fija en televisión, compararlo con la derivada parcial y decidir en qué medio conviene invertir.

Qué se practica

Primero se evalúa la función en un punto, un cálculo directo. Después se compara el cambio real de las ventas, que se obtiene restando dos valores de la función, con la estimación que da la derivada parcial en el punto, y se analiza si la derivada subestima o sobrestima el cambio, algo que depende del signo de las derivadas de segundo orden. Por último se comparan las derivadas parciales respecto de cada variable para justificar dónde rinde más una inversión adicional. Es un ejemplo de cómo se usa el cálculo en una decisión económica.

El tema del módulo: Introducción

Este curso trabaja con funciones de varias variables y sus aplicaciones, en particular a la economía. Una función de dos variables, $z = f(x, y)$, asigna un valor a cada par de números, y sirve para modelar situaciones en las que un resultado depende de más de un factor: las ventas dependen de lo que se gasta en publicidad en dos medios, la utilidad depende de lo que se produce de dos artículos. La herramienta central es la derivada parcial, que mide cómo cambia la función cuando se mueve una sola variable y la otra se mantiene fija. Con ella se interpreta el efecto marginal de cada factor, se estiman cambios pequeños con una aproximación lineal y se comparan alternativas de inversión.

Ideas que se usan en este tema

La derivada parcial respecto de $x$ se calcula derivando como si $y$ fuera una constante, con las mismas reglas de derivación de una variable: la regla del producto, la del cociente y la de la cadena.

El valor de $f_x(a, b)$ es la variación aproximada de la función por cada unidad adicional de $x$ en el punto $(a, b)$; en un problema económico es el efecto marginal de esa variable, y se interpreta con sus unidades.

Para estimar un cambio pequeño de la función se usa la aproximación lineal: $\Delta f \approx f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y$. Es una estimación, y puede subestimar o sobrestimar el cambio real según la curvatura de la función.

Errores frecuentes

Derivar respecto de una variable sin tratar a la otra como constante, o al revés, derivarla también y obtener un resultado de otra función.

Olvidar las unidades al interpretar una derivada parcial: si $x$ se mide en miles de dólares, el resultado es por cada mil dólares, y no por cada dólar.