Valor funcional es el valor de la función cuando x=2; f(2)=504

Valor funcional es el valor de la función cuando x=2; f(2)=504

Es decir que con esos datos nosotros vamos a tener que poder construir la función. ¿qué es lo que vamos a hacer siempre en estos casos?

Es decir que con esos datos nosotros vamos a tener que poder construir la función. ¿qué es lo que vamos a hacer siempre en estos casos? es plantearnos la fórmula de la descomposición factorial en este caso como tiene tres raíces va a ser un polinomio de tercer grado y es el coeficiente principal por x menos cada una de sus raíces. Podría haber sido este caso que sea un polinomio tercer grado, también es dato del ejercicio, porque podría ser una raíz triple y tener una coincidencia con este gráfico, pero, o sea en forma genérica pero en este caso es un polinomio de tercer grado tiene tres raíces como podemos ver diferentes las planteamos de esta manera y lo que vamos a hacer ahora es ir sustituyendo por los datos que tenemos

Qué es el valor funcional

El valor funcional $f(2)$ es el valor de la función cuando $x = 2$. Es lo que se obtiene al reemplazar cada $x$ de la fórmula por 2. En este ejercicio, el enunciado dice que $f(2) = 504$, y ese dato sirve para determinar el coeficiente principal, que es lo único que falta.

Reemplazar en el polinomio factorizado

Se parte de $f(x) = a(x + 5)(x - 6)(x - 8)$. Al reemplazar $x = 2$, los factores valen $2 + 5 = 7$, $2 - 6 = -4$ y $2 - 8 = -6$. Entonces $f(2) = a \cdot 7 \cdot (-4) \cdot (-6)$.

Hacer la cuenta

El producto de los números es $7 \cdot (-4) \cdot (-6) = 7 \cdot 24 = 168$. Los dos signos negativos se compensan y el resultado es positivo. Entonces $168a = 504$. Se pasa el 168 dividiendo: $a = \frac{504}{168} = 3$.

El polinomio completo

Con $a = 3$, la ecuación completa es $f(x) = 3(x + 5)(x - 6)(x - 8)$. Ya está determinada. Si el ejercicio pidiera solamente la forma factorizada, se podría terminar acá.

Cómo comprobar el valor de a

Hay una verificación rápida: reemplazar de nuevo en $x = 2$ con $a = 3$. Se obtiene $3 \cdot 168 = 504$, el dato original. Si no coincide, hay un error en el signo de algún factor.

Un punto para tener presente

El dato extra puede ser cualquier valor de la función, no solo el de $x = 2$. Si el enunciado diera el corte con el eje vertical, $f(0)$, el planteo sería el mismo. En este caso, $f(0) = 3 \cdot 5 \cdot (-6) \cdot (-8) = 720$, un valor que se usa en la clase siguiente para verificar el desarrollo. Escribir bien el signo de cada factor es lo que más influye en llegar al resultado correcto.

Más sobre el valor funcional

En matemática, la expresión $f(2) = 504$ significa que el punto $(2, 504)$ pertenece a la gráfica de la función. Por eso, en un gráfico, un valor funcional equivale a un punto de la curva. Si el gráfico del ejercicio mostrara ese punto marcado, el dato sería el mismo. Cualquier punto de la curva sirve para hallar $a$, siempre que no sea una de las raíces, porque en una raíz el valor es cero y no da información sobre el coeficiente.

Qué pasa si se usa una raíz como dato

Si se intentara usar $f(6) = 0$ para hallar $a$, se obtendría $a \cdot 11 \cdot 0 \cdot (-2) = 0$, que es una igualdad verdadera para cualquier $a$. Por eso es imprescindible un punto que no sea raíz, como $x = 2$. Esta observación explica por qué, además de las raíces, siempre hace falta un dato extra.

Una variante para practicar

Con raíces $-2$, 1 y 3, y $f(2) = -16$: $f(2) = a \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-1) = -4a = -16$, así que $a = 4$. El polinomio es $f(x) = 4(x+2)(x-1)(x-3)$. Probá resolverlo por tu cuenta antes de mirar este resultado.