De esta manera me queda planteado el polinomio o ecuación de tercer grado.

De esta manera me queda planteado el polinomio o ecuación de tercer grado.

De esta manera me queda planteado el polinomio o ecuación de tercer grado.. Del curso Como Resolver Ecuaciones de Tercer Grado, resuelta paso a paso.

Siguiente dato es que f de 2 vale 504, efe de 2 es sustituir cada uno de los valores 2 – 6, 2 – 8 igual a 504, entonces nos quedaría a por 7 x menos cuatro, por menos seis igual a 504, esta cuenta 7 x 6 es 42, 42 x 4 me va a dar 168 igual a 504 y pasamos dividiendo 504 sobre 168 y esto me va a dar 3, o sea que a vale 3. Con ese valor de a lo colocamos aquí y tenemos completa ecuación. Ahora puede ser que me pidan que escriba el polinomio desarrollado y simplificado, es decir, voy a tener que empezar a hacer las distributiva, vamos a empezar haciendo estas dos últimas 3 por x +5, estos dos los voy a dejar para el final y voy a hacer esta por esta, y me va a quedar x cuadrado menos 14x + 48 queda 14x porque hago menos 6x menos 8x menos 14 x, x por x es x cuadrado y los números generan este valor.

Desarrollar el polinomio

Si el ejercicio pide el polinomio desarrollado y simplificado, hay que hacer las distributivas. Se parte de $f(x) = 3(x + 5)(x - 6)(x - 8)$. El truco es dejar el 3 y el $(x+5)$ para el final y empezar multiplicando los dos factores con números negativos: $(x - 6)(x - 8) = x^2 - 8x - 6x + 48 = x^2 - 14x + 48$.

Multiplicar por x más 5

Se distribuye cada término de $x^2 - 14x + 48$ con $x$ y con 5. Con la $x$: $x^3 - 14x^2 + 48x$. Con el 5: $5x^2 - 70x + 240$. Se suman, agrupando términos semejantes: $x^3 + (-14 + 5)x^2 + (48 - 70)x + 240 = x^3 - 9x^2 - 22x + 240$.

Multiplicar por 3

Por último, el 3 multiplica a todos los términos: $3x^3 - 27x^2 - 66x + 720$. El polinomio completo simplificado es $$f(x) = 3x^3 - 27x^2 - 66x + 720$$ Esa es la respuesta que pide el ejercicio: la ecuación polinómica a partir de la gráfica.

Verificaciones

Hay varias formas de comprobar el resultado. El término independiente, 720, debe ser el corte con el eje vertical, $f(0) = 720$, y coincide con el cálculo anterior. El coeficiente principal es 3, el valor de $a$. Si se reemplaza $x = 2$, se obtiene $3 \cdot 8 - 27 \cdot 4 - 66 \cdot 2 + 720 = 24 - 108 - 132 + 720 = 504$, el dato del enunciado. Y en una raíz, por ejemplo $x = 6$, el valor es $648 - 972 - 396 + 720 = 0$.

Un cuidado con el desarrollo

Las distributivas son con respecto a una suma o resta. El coeficiente 3 multiplica al producto completo, y no a cada factor, de modo que se lo aplica una sola vez. Y conviene reducir los términos semejantes antes de seguir multiplicando, para evitar expresiones largas y errores. Este ejercicio tiene muchas variantes, y las próximas clases muestran otras.

Otra manera de comprobar

Existe una relación entre los coeficientes y las raíces que permite verificar el desarrollo sin recalcular. Para un polinomio $ax^3 + bx^2 + cx + d$ con raíces $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$, la suma de las raíces es $-\frac{b}{a}$, y el producto es $-\frac{d}{a}$. Con el polinomio de la clase, las raíces son $-5$, 6 y 8: su suma es 9 y $-\frac{-27}{3} = 9$. Su producto es $-240$ y $-\frac{720}{3} = -240$. Las dos relaciones coinciden.

Si el enunciado pide solo la forma factorizada

En muchos ejercicios no hace falta desarrollar. Si la consigna dice «determinar la ecuación» sin más precisión, la forma factorizada $f(x) = 3(x+5)(x-6)(x-8)$ es una respuesta correcta y completa. Desarrollar es necesario solo cuando el enunciado pide expresamente la forma general. Leer bien la consigna ahorra trabajo y evita errores de cuentas.

Para practicar

Desarrollá $f(x) = 2(x+1)(x-2)(x-4)$. Primero $(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$, luego por $(x+1)$ da $x^3 - 5x^2 + 2x + 8$, y por 2, $2x^3 - 10x^2 + 4x + 16$.