Ecuaciones de Tercer Grado Ejercicio 1

Ecuaciones de Tercer Grado Ejercicio 1

Hola ¿cómo están? Estamos en otro vídeo de Profeonline.uy, en este caso toca matemáticas y vamos a resolver un ejercicio que es construir una función polinómica a partir de su gráfico.

Hola ¿cómo están? Estamos en otro vídeo de Profeonline.uy, en este caso toca matemáticas y vamos a resolver un ejercicio que es construir una función polinómica a partir de su gráfico. Tenemos en este caso un gráfico de una ecuación polinómica y un dato más es que f de 2 vale 504.

El enunciado

El ejercicio consiste en construir una función polinómica a partir de su gráfico. Se tiene la gráfica de una ecuación polinómica de tercer grado y un dato más: $f(2) = 504$. Con esos datos hay que poder reconstruir la función.

Qué hacer siempre en estos casos

El primer paso es plantear la fórmula de la descomposición factorial. Como el polinomio es de tercer grado y la gráfica muestra tres raíces diferentes, la fórmula es el coeficiente principal por $(x - \text{raíz})$ para cada una de las raíces. En el planteo genérico, podría ocurrir también que se tratara de una raíz triple que coincidiera con el gráfico, pero acá se ven tres raíces distintas, así que no hay ambigüedad.

Leer las raíces

Del gráfico se leen las tres raíces: $-5$, 6 y 8. Los factores son entonces $(x - (-5)) = (x + 5)$, $(x - 6)$ y $(x - 8)$. Un error frecuente es escribir $(x - 5)$ en lugar de $(x + 5)$ para la raíz negativa: el signo del factor es el opuesto al de la raíz.

El planteo completo

El polinomio es $f(x) = a(x + 5)(x - 6)(x - 8)$. Todavía no se conoce el valor de $a$. Hace falta el dato que falta, $f(2) = 504$, que se usa en la clase siguiente.

Por qué alcanza con estos datos

Un polinomio de tercer grado tiene cuatro coeficientes, y por lo tanto necesita cuatro datos para quedar determinado. Las tres raíces dan tres de esos datos, y el valor en $x = 2$ es el cuarto. Si faltara uno, habría infinitos polinomios con las mismas raíces: bastaría con multiplicar por cualquier constante. Con las tres raíces y un punto más, el polinomio es único.

Para practicar

Escribí la forma factorizada de un polinomio con raíces $-1$, 2 y 4, y con $f(0) = 16$: $f(x) = a(x+1)(x-2)(x-4)$, y $f(0) = a \cdot 1 \cdot (-2) \cdot (-4) = 8a = 16$, así que $a = 2$.

Resumen de la clase

Los dos puntos centrales de esta primera parte son plantear la factorización con un coeficiente desconocido y leer correctamente las raíces del gráfico. Con eso queda lista la mitad del ejercicio, y falta únicamente aplicar el dato adicional para calcular $a$. Si te parece que falta información, contá: tres raíces y un valor son cuatro datos, que es exactamente lo que necesita un polinomio de tercer grado.