Seguimos con la transcripción del ejercicio de Polinomios o Ecuaciones de Tercer Grado

Seguimos con la transcripción del ejercicio de Polinomios o Ecuaciones de Tercer Grado

Seguimos con la transcripción del ejercicio de Polinomios o Ecuaciones de Tercer Grado. Del curso Como Resolver Ecuaciones de Tercer Grado, resuelta paso a paso.

Es decir el -5 era una de las raíces, el 6 y el 8 eran las otras raíces, y vemos que del -5 hacia la izquierda la función es negativa es esta parte de aquí, vamos a decir, vamos a poner la línea en azul que es la parte que tenemos por acá y que marca que la función está por debajo eso significa que si nosotros hiciéramos la cuenta con un valor por acá su resultado en el eje y me da un valor negativo, por eso tiene signo negativo. Después entre menos 5 y 6 la función toma valores positivos eso quiere decir que si por ejemplo hiciésemos el f de 0 acá vemos que es el punto de corte con el eje y el resultado es positivo porque esta graficado por encima del eje x que es donde están los positivos del eje y, recuerden que este es el 0, mientras que entre 6 y 8 la función toma valores negativos vamos a ponerla en azul y el signo negativo y a partir del 8 vuelve a estar graficada por encima y da positivo. En los puntos 8, 6 y menos 5 que les llamábamos raíz de la función esta función toma valor 0.

Un recorrido por el gráfico

Esta clase sigue con el estudio del signo del polinomio $f(x) = 3(x+5)(x-6)(x-8)$ y recorre el gráfico zona por zona. Las raíces dividen al eje horizontal en cuatro tramos, y en cada uno la función tiene un signo constante.

Los cuatro tramos

A la izquierda de $-5$, la curva está por debajo del eje: signo negativo. Entre $-5$ y 6, la curva está por encima: signo positivo. En el punto donde corta al eje vertical, $f(0) = 720$, el resultado es positivo, justamente porque queda en este tramo. Entre 6 y 8 vuelve a estar por debajo del eje: signo negativo. A partir de 8, la curva está otra vez por encima: signo positivo.

En las raíces

En los puntos $-5$, 6 y 8, que son las raíces de la función, el valor es cero. Entonces $f(6) = 0$ y $f(8) = 0$. En cambio, $f(7)$ es negativo, y eso se puede afirmar con seguridad: 7 está entre 6 y 8, donde la gráfica está bajo el eje.

La alternancia de signos

Si el coeficiente principal es positivo, como acá, la gráfica empieza abajo a la izquierda y termina arriba a la derecha. Eso explica el signo negativo en el primer tramo y positivo en el último. Y como las tres raíces son simples, el signo cambia en cada una: negativo, positivo, negativo, positivo. Si el coeficiente principal fuera negativo, todos los signos estarían invertidos.

Resumen en una tabla

$x < -5$: negativo. $-5 < x < 6$: positivo. $6 < x < 8$: negativo. $x > 8$: positivo. Con esta tabla se resuelve cualquier inecuación con $f$: para $f \ge 0$, la solución es $[-5, 6] \cup [8, \infty)$; para $f \le 0$, es $(-\infty, -5] \cup [6, 8]$.

Por qué importa interpretar el signo

Saber calcular el signo de un polinomio y saber interpretarlo es una herramienta esencial. Sirve para estudiar dónde crece una función, dónde se hace positiva, y para resolver inecuaciones, tema que reaparece en cálculo y en toda la matemática posterior.