Ecuaciones de Tercer Grado a partir de gráfica Ej 1 Parte 2

Ecuaciones de Tercer Grado a partir de gráfica Ej 1 Parte 2

Ecuaciones de Tercer Grado a partir de gráfica Ej 1 Parte 2. Del curso Como Resolver Ecuaciones de Tercer Grado, resuelta paso a paso.

Hola ¿cómo están? Estamos en otro vídeo de profeonline.uy en este caso en matemática con la segunda parte del ejercicio que teníamos en la parte anterior, que le dejamos el vídeo por acá, no se olviden vayan y mírenlo si no lo vieron, porque si no no van a entender esta parte. Nos daban la gráfica y este dato y nosotros tuvimos que concluir que el ejercicio era esta la solución, o sea tuvimos que armar el polinomio. Vamos a resolver la parte b que es calcular el signo de este polinomio o mejor dicho resolver la inecuación de la función cuando la función es menor o igual a 0, es determinar para qué valores la función es menor o igual a 0.

La segunda parte del ejercicio

Esta clase continúa el ejercicio en el que se determinó el polinomio $f(x) = 3(x + 5)(x - 6)(x - 8)$ a partir de su gráfica. La parte b pide resolver la inecuación $f(x) \le 0$, es decir, determinar para qué valores de $x$ la función es menor o igual que cero.

Qué significa estudiar el signo

Determinar el signo de una función es averiguar para qué valores de $x$ el resultado es positivo y para qué valores es negativo. Si el ejercicio solo diera la fórmula, habría que calcular las raíces y empezar desde la derecha con el signo del coeficiente principal, alternando al pasar por cada raíz.

El camino con el gráfico

Como acá se tiene el gráfico, el trabajo es más rápido. El signo es positivo donde la función está graficada por encima del eje horizontal, y negativo donde está por debajo. La parte entre 6 y 8 y la parte a la izquierda de $-5$ están graficadas por debajo del eje, así que son las partes donde la función es negativa.

La solución

La función es negativa para $x < -5$ y para $6 < x < 8$. Además, vale exactamente cero en las raíces $-5$, 6 y 8, y como la inecuación incluye la igualdad, esos tres puntos forman parte de la solución. El conjunto solución es $(-\infty, -5] \cup [6, 8]$.

Dos comprobaciones numéricas

Con $x = 7$, que está entre 6 y 8: $f(7) = 3 \cdot 12 \cdot 1 \cdot (-1) = -36$, que es negativo, como se esperaba. Con $x = 0$, que está entre $-5$ y 6: $f(0) = 720$, positivo. Estos dos valores confirman las zonas del gráfico.

Para recordar

Resolver una inecuación con un polinomio factorizado es tan simple como ubicar las raíces y marcar los signos. Si una raíz es simple, el signo cambia al pasar por ella; si fuera doble, no cambiaría. Después de ver la parte c, vas a poder resolver también inecuaciones con cocientes.

Un resumen visual

Una manera de recordar el resultado es dibujar la recta numérica con las tres raíces y marcar encima los signos alternados, empezando por el último tramo, que tiene el signo del coeficiente principal. Para $f$, con coeficiente 3, el tramo de la derecha es positivo. Después, al ir hacia la izquierda, el signo cambia en cada raíz: positivo, negativo, positivo, negativo. Con ese esquema se resuelve cualquier inecuación sin recurrir al gráfico.