Calculo del signo de la división

Calculo del signo de la división

Calculo del signo de la división. Del curso Como Resolver Ecuaciones de Tercer Grado, resuelta paso a paso.

Si yo quiero hacer el signo de fx sobre menos x más 6 voy a juntar los dos signos, me conviene trazar una línea para no perderme, en el 8, en el 6 y en el -5 y más con menos es menos, menos con menos es más, más con más es más y menos con más es menos. Ahora 0 el numerador, 0 en el numerador, pero en este caso hay un 0 en el denominador y por lo tanto decimos que en ese punto la función no existe, y observamos, que, le llamaríamos a esta función una raíz doble, porque es una raíz del numerador y denominador y el signo no cambia, porque en realidad como que cambiaría dos veces y volvería a ser lo mismo como nos pedían que fuese mayor estricto que cero la solución va a ser desde el menos 5 hasta el 6 y desde el 6 hasta el 8, es decir, que la solución son los equis que pertenecen a los reales tales que x pertenece al intervalo –5, 6 unión el intervalo 6,8

Qué se resuelve en esta clase

La parte c del ejercicio pide estudiar el signo de una división: la función $f(x)$ dividida por $-x + 6$, y resolver la inecuación $\frac{f(x)}{-x+6} > 0$. Para eso se necesita el signo del numerador, que ya se calculó, y el signo del denominador.

Signo del numerador

Ya se sabe que $f$ es negativa antes de $-5$, positiva entre $-5$ y 6, negativa entre 6 y 8, y positiva a partir de 8.

Signo del denominador

El denominador es $-x + 6$. Su raíz sale de $-x + 6 = 0$, que da $x = 6$. Se ubica la raíz y se empieza desde la derecha con el signo del coeficiente principal, que es negativo, porque el coeficiente de $x$ es $-1$. Entonces es negativo a la derecha de 6 y positivo a la izquierda.

Combinar los signos

Se marcan todas las raíces, 8, 6 y $-5$, en una misma recta, y se aplica la regla de los signos: más por menos es menos, menos por menos es más, más por más es más, y menos por más es menos. Para $x < -5$: negativo sobre positivo, da negativo. Entre $-5$ y 6: positivo sobre positivo, da positivo. Entre 6 y 8: negativo sobre negativo, da positivo. Para $x > 8$: positivo sobre negativo, da negativo.

La raíz doble

El 6 es raíz del numerador y del denominador. Como el signo no cambia al pasar por él, es lo que se llama una raíz doble: es como si cambiara dos veces y volviera a ser el mismo. En ese punto hay un cero en el denominador, por lo que la función no existe, y el 6 queda excluido de la solución.

La solución

Como se pide estrictamente mayor que cero, la solución es $(-5, 6) \cup (6, 8)$. Los puntos $-5$ y 8 se excluyen porque ahí el cociente vale cero, y el 6 porque no existe. El ejercicio es bastante completo: parte de un gráfico de una función polinómica de tercer grado y llega al signo de una división con otro polinomio.