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Polinomios o Ecuaciones de Tercer Grado

con RAÍZ incógnita

Polinomio de tercer grado con una raíz desconocida: se arma un sistema con dos datos, se halla el polinomio y se resuelve P(x) = 8 con Ruffini.

Qué aprenderás en esta clase

Polinomio de tercer grado con una raíz desconocida: se arma un sistema con dos datos, se halla el polinomio y se resuelve P(x) = 8 con Ruffini.

Qué se resuelve en esta clase

La clase resuelve un ejercicio distinto a los anteriores: hay que determinar el polinomio de tercer grado de una gráfica en la que una de las raíces no es dato. Se conocen dos raíces, 2 y 4, y dos valores de la función: $P(0) = -16$ y $P(3) = 8$ . Como falta una raíz, que se llama $\alpha$ , y falta el coeficiente principal $a$ , se necesitan dos ecuaciones, y se arma un sistema.

Planteo

La descomposición factorial es $P(x) = a(x - \alpha)(x - 2)(x - 4)$ . Con $P(0) = -16$ : $a(-\alpha)(-2)(-4) = -8a\alpha = -16$ , de donde $a\alpha = 2$ . Con $P(3) = 8$ : $a(3-\alpha)(1)(-1) = -3a + a\alpha = 8$ .

Resolver el sistema

Una observación valiosa: en las dos ecuaciones aparece el producto $a\alpha$ , y se conoce su valor, 2. No hace falta despejar las dos incógnitas por separado. Se reemplaza en la segunda ecuación: $-3a + 2 = 8$ , así que $-3a = 6$ y $a = -2$ . Y de $a\alpha = 2$ , resulta $\alpha = -1$ .

El polinomio

La raíz que faltaba es $-1$ . El polinomio es $P(x) = -2(x+1)(x-2)(x-4)$ , y desarrollado: $(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$ , luego $(x+1)(x^2 - 6x + 8) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ , y multiplicando por $-2$ , $P(x) = -2x^3 + 10x^2 - 4x - 16$ . Se verifica: el término independiente es $-16$ , el coeficiente principal es $-2$ , y como $-1$ es raíz evidente, la suma de los coeficientes de grado impar, $-2 - 4 = -6$ , coincide con la de grado par, $10 - 16 = -6$ .

Resolver P(x) = 8 con Ruffini

Se pide resolver $P(x) = 8$ . Gráficamente, se traza la recta horizontal a la altura 8, que corta a la curva en tres puntos. Se iguala: $-2x^3 + 10x^2 - 4x - 24 = 0$ , o bien $x^3 - 5x^2 + 2x + 12 = 0$ . Una solución es conocida: $x = 3$ , porque $P(3) = 8$ . Se baja con Ruffini dividiendo entre $x - 3$ : los coeficientes 1, $-5$ , 2, 12 dan el cociente $x^2 - 2x - 4$ y resto 0. Las otras raíces salen de $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$ .

Las tres soluciones

Las soluciones de $P(x) = 8$ son $x = 3$ , $x = 1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24$ y $x = 1 - \sqrt{5} \approx -1{,}24$ . Tres puntos de corte, tal como mostraba el gráfico.

Por qué resulta cómodo este método

Resolver $P(x) = 8$ después de conocer el polinomio muestra la utilidad de Ruffini: una ecuación de tercer grado que parecería difícil se reduce a una de segundo grado apenas se conoce una raíz. Conviene retener que la raíz conocida no siempre es una raíz de $P$ : en este caso, 3 es una raíz del polinomio $P(x) - 8$ , y por eso sirve para bajarlo.