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Polinomios o Ecuaciones de Tercer Grado

Ecuaciones de 3 grado a partir del gráfico

Hallar un polinomio de tercer grado a partir de su gráfica con raíces −2, 1 y 5 y corte con el eje y en −20, y comprobar el resultado.

Qué aprenderás en esta clase

Hallar un polinomio de tercer grado a partir de su gráfica con raíces −2, 1 y 5 y corte con el eje y en −20, y comprobar el resultado.

Qué se resuelve en esta clase

Se determina la ecuación de un polinomio de tercer grado a partir de su gráfica. Los puntos de corte con el eje horizontal son $-2$ , 1 y 5, y el corte con el eje vertical es $-20$ . Es el mismo tipo de ejercicio que se vio antes, y se resuelve con la descomposición factorial.

Planteo

Se escribe $f(x) = a(x+2)(x-1)(x-5)$ . Falta el coeficiente principal, y para hallarlo se usa el dato del corte con el eje $y$ , que es el término independiente: $f(0) = a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-5) = 10a$ . Como $f(0) = -20$ , se tiene $10a = -20$ y $a = -2$ .

Desarrollo

El polinomio es $f(x) = -2(x+2)(x-1)(x-5)$ . Un detalle que el video destaca: el $-2$ multiplica al producto completo, así que no se puede distribuir en cada paréntesis. Se hacen primero dos factores: $(x-1)(x-5) = x^2 - 6x + 5$ . Se multiplica por $(x+2)$ : $x^3 - 6x^2 + 5x + 2x^2 - 12x + 10 = x^3 - 4x^2 - 7x + 10$ . Por último, se multiplica por $-2$ : $f(x) = -2x^3 + 8x^2 + 14x - 20$ .

Verificación con raíces evidentes

El resultado se puede comprobar de dos maneras. El término independiente es $-20$ , igual que el corte con el eje $y$ , y el coeficiente principal es $-2$ . Además, 1 es una raíz del polinomio, y se la puede verificar sumando los coeficientes: $-2 + 8 + 14 - 20 = 0$ . Ya que la suma da cero, 1 es raíz, y eso confirma que no hubo errores de cuentas.

El esquema de Ruffini para bajar el polinomio

Otra forma de verificar es usar Ruffini, que no es otra cosa que dividir entre $x - \alpha$ , donde $\alpha$ es una raíz conocida. Dividiendo $-2x^3 + 8x^2 + 14x - 20$ entre $x - 1$ , el cociente es $-2x^2 + 6x + 20$ y el resto es 0. Las raíces de ese cociente, por Bhaskara, son $-2$ y 5, que coinciden con las del gráfico. El esquema funciona así: se baja el primer coeficiente, se multiplica por la raíz y se suma al siguiente coeficiente, y se repite.

Para tener presente

Los tres datos, raíces, corte con el eje $y$ y coeficiente principal, se conectan entre sí. Si en tu resultado el término independiente no coincide con el corte del gráfico, hay un error de cuentas.