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Polinomios o Ecuaciones de Tercer Grado

✅ Descomposición Factorial

Hallar un polinomio de tercer grado a partir de su gráfica con la descomposición factorial: raíces −2, 1 y 3, y a = 2.

Qué aprenderás en esta clase

Hallar un polinomio de tercer grado a partir de su gráfica con la descomposición factorial: raíces −2, 1 y 3, y a = 2.

Qué se resuelve en esta clase

La clase explica cómo determinar un polinomio de tercer grado a partir de su gráfica, usando la descomposición factorial. Generalmente, un polinomio de tercer grado tiene tres raíces reales y distintas, es decir, corta tres veces al eje $x$ . Las raíces son los puntos de corte con el eje horizontal. El otro dato importante es el punto de corte con el eje $y$ , que es el término independiente: es el valor de $f(0)$ .

La clave: la descomposición factorial

Para resolver estos ejercicios hay que plantear el polinomio factorizado: $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ , donde $a$ es el coeficiente principal y $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ son las tres raíces. Sabiendo que hay tres raíces, es seguro que el polinomio es de tercer grado, y toda la información que falta es el valor de $a$ .

El ejemplo de la clase

Los puntos de corte con el eje $x$ son $-2$ , 1 y 3. El polinomio es entonces $f(x) = a(x+2)(x-1)(x-3)$ . El corte con el eje $y$ es 12, es decir, $f(0) = 12$ . Se calcula $f(0) = a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-3) = 6a$ , y como debe valer 12, resulta $a = 2$ .

Pasar a la forma desarrollada

Con $a = 2$ , el polinomio es $f(x) = 2(x+2)(x-1)(x-3)$ . Para desarrollarlo se multiplican primero dos factores: $(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$ . Después se multiplica por $(x+2)$ : $x^3 - 4x^2 + 3x + 2x^2 - 8x + 6 = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ . Y por último se multiplica por 2: $2x^3 - 4x^2 - 10x + 12$ . El consejo del video es reducir el polinomio antes de seguir distribuyendo, para no arrastrar demasiados términos.

Dos verificaciones

El término independiente es 12, el mismo que el corte con el eje $y$ . El coeficiente principal es 2, el valor que se había despejado. Esas dos coincidencias muestran que las cuentas están bien. Además, la suma de los coeficientes, $2 - 4 - 10 + 12 = 0$ , indica que 1 es raíz, como pedía el enunciado.

Un error a evitar

La propiedad distributiva se hace respecto de una suma o resta, y no dentro de un término. El coeficiente $a$ multiplica a todo el producto de los tres paréntesis, no a cada uno. Distribuir el 2 en los tres paréntesis daría un polinomio equivocado. Conviene multiplicar el 2 al final.