Raíces evidentes de un polinomio de tercer grado: 1, −1 y 0

Qué aprenderás en esta clase

Cómo detectar raíces evidentes de un polinomio de tercer grado: la raíz 1, la raíz −1 y la raíz 0, con ejemplos.

Para qué sirven las raíces evidentes

Para resolver una ecuación de tercer grado con Ruffini hace falta conocer una de sus tres raíces. Una forma de conocerla es verificar si el polinomio tiene una raíz evidente: un valor que se detecta con solo mirar los coeficientes, sin hacer cuentas largas. Una vez encontrada, se baja el polinomio por Ruffini, y la ecuación de segundo grado que queda se resuelve con la fórmula habitual. Para polinomios $ax^3 + bx^2 + cx + d$ , hay tres criterios.

Raíz evidente 1

Si la suma de todos los coeficientes del polinomio da cero, entonces 1 es raíz: $a + b + c + d = 0$ , porque $P(1)$ es justamente esa suma. Ejemplo: $2x^3 + 5x^2 - 3x - 4$ . La suma es $2 + 5 - 3 - 4 = 0$ , por lo tanto el polinomio tiene raíz 1.

Raíz evidente menos 1

Si la suma de los coeficientes de grado par es igual a la suma de los coeficientes de grado impar, entonces $-1$ es raíz. En el polinomio de tercer grado, es $a + c = b + d$ : $a$ y $c$ acompañan potencias impares, $x^3$ y $x$ , y $b$ y $d$ acompañan a $x^2$ y al término independiente. Se cumple porque $P(-1) = -a + b - c + d$ , y esto vale cero justamente cuando $a + c = b + d$ . Ejemplo: $x^3 + 4x^2 + x - 2$ . Como $1 + 1 = 2$ y $4 + (-2) = 2$ , el polinomio tiene raíz $-1$ . Se verifica: $-1 + 4 - 1 - 2 = 0$ .

Raíz evidente cero

Si el término independiente $d$ es cero, es decir, si el polinomio no tiene término independiente, entonces 0 es raíz. Es el caso más simple: todos los términos tienen una $x$ multiplicando, y al reemplazar $x = 0$ , el resultado es 0. Por ejemplo, $x^3 - x^2 - 6x$ tiene raíz 0.

Cómo usarlas

Lo mejor es revisar los tres criterios en orden, antes de intentar cualquier otro método. Pueden darse varios a la vez: el polinomio $x^3 + 2x^2 - x - 2$ tiene raíz 1, porque $1 + 2 - 1 - 2 = 0$ , y también raíz $-1$ , porque $1 + (-1) = 0$ y $2 + (-2) = 0$ . Si ninguno de los tres criterios se cumple, el polinomio puede tener otras raíces enteras, que se buscan probando los divisores del término independiente.

Para practicar

Decidí qué raíz evidente tiene cada polinomio: $x^3 - 3x^2 + 2x$ (raíz 0), $x^3 + x^2 - 4x - 4$ (raíz $-1$ , porque $1 - 4 = -3$ y $1 - 4 = -3$ ), y $3x^3 - 2x^2 - 5x + 4$ (raíz 1, porque $3 - 2 - 5 + 4 = 0$ ).