Ecuación sin término independiente

Ecuación sin término independiente

Este caso ya lo vimos anteriormente cuando vimos las raíces evidentes de una ecuación.

Este caso ya lo vimos anteriormente cuando vimos las raíces evidentes de una ecuación. Como ya sabemos tiene raíz cero y procedemos a sacar una x de factor común; y lo que queda multiplicando a x es un polinoio de segundo grado que resolvemos por Bhaskara Ejercicio 1 Resuelto: Tenemos que resolver el siguiente polinomio: Ecuación grado 3 sin término independiente El primer paso es sacar de factor común la x ya que al no tener término independiente todos los términos están multiplicados por x. La ecuación queda de la siguiente manera: En el paréntesis aplicamos Bhaskara para hallar las otras 2 soluciones: Esta cuenta nos da las otras dos soluciones de la ecuación; las cuales son -2 y 3. Por lo tanto las tres soluciones del problema original son -2, 0 y 3.

Ecuaciones incompletas

Hasta ahora se resolvieron polinomios completos, con coeficientes distintos de cero en todos los términos. Los polinomios incompletos son aquellos a los que les falta algún término, es decir, que algún coeficiente vale cero. Tienen casos particulares sencillos, y conviene reconocerlos para no usar métodos largos cuando hay uno corto.

El caso sin término independiente

Cuando falta el término independiente, el polinomio tiene la forma $ax^3 + bx^2 + cx$, y como todos sus términos tienen una $x$, se puede sacar $x$ como factor común. Eso ya muestra que 0 es una raíz. Lo que queda dentro del paréntesis es un polinomio de segundo grado, que se resuelve por la fórmula de Bhaskara.

Un ejemplo resuelto

En $x^3 - x^2 - 6x = 0$, se saca $x$: $x(x^2 - x - 6) = 0$. Un producto es cero cuando alguno de sus factores es cero, así que $x = 0$ es una solución. Las otras salen de $x^2 - x - 6 = 0$, con la fórmula $\frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$, que da $x = 3$ y $x = -2$. Las tres soluciones son $-2$, 0 y 3.

Otro ejemplo, con una sola raíz real

Resolvamos $2x^3 + 4x = 0$. Se saca factor común $2x$: $2x(x^2 + 2) = 0$. Una solución es $x = 0$. La otra ecuación, $x^2 + 2 = 0$, no tiene solución real, porque un cuadrado nunca es negativo; sus soluciones son imaginarias. Entonces la ecuación tiene una única solución real, $x = 0$. Esto muestra que no siempre aparecen tres raíces reales.

Un error frecuente

Un error muy común es dividir toda la ecuación entre $x$ para simplificarla, y perder la solución $x = 0$. No hay que dividir: hay que sacar factor común. Es la misma situación que cuando se resuelve $x^2 = 3x$: si se divide entre $x$, se pierde la solución 0.

Para practicar

Resolvé $x^3 - 4x = 0$: $x(x^2 - 4) = 0$, con soluciones $-2$, 0 y 2. Y resolvé $x^3 + 5x^2 + 6x = 0$: $x(x^2 + 5x + 6) = 0$, con soluciones $-3$, $-2$ y 0.

Una verificación gráfica

Una ecuación sin término independiente corresponde a una curva que pasa por el origen, ya que $P(0) = 0$. Esa es la razón geométrica por la que 0 es raíz. Si dibujás la gráfica de $x^3 - x^2 - 6x$, vas a ver que corta al eje en tres puntos: $-2$, 0 y 3, y que pasa justo por el punto $(0, 0)$.