Qué aprenderás en esta clase
Ejercicio de un polinomio de tercer grado a partir de su gráfica (parte 2): signo del polinomio y de un cociente, con las raíces −5, 6 y 8.
Qué se resuelve en esta clase
Esta clase es la segunda parte de un ejercicio completo: a partir de la gráfica de una función polinómica de tercer grado, con raíces , 6 y 8 y el dato , ya se obtuvo en la primera parte la función . Ahora se pide estudiar su signo, y después el signo de un cociente.
La parte b: cuándo f es menor o igual que cero
Determinar el signo de una función es averiguar para qué valores de el resultado es positivo y para cuáles es negativo. Cuando se tiene la fórmula, se calculan las raíces y se empieza desde la derecha con el signo del coeficiente principal. Pero acá hay una ventaja: se tiene también el gráfico. El signo es positivo donde la función está graficada por encima del eje , y negativo donde está por debajo.
Leer el signo en el gráfico
Del hacia la izquierda la función está por debajo del eje: es negativa. Entre y 6, está por encima: es positiva. Entre 6 y 8, vuelve a estar por debajo: es negativa. Y del 8 hacia la derecha, otra vez por encima: positiva. En las raíces , 6 y 8, la función vale cero. Para , la solución es , incluyendo los extremos porque ahí la función vale exactamente cero.
La parte c: el cociente
Se pide resolver . El denominador tiene raíz 6, y su coeficiente principal es negativo, así que es positivo a la izquierda de 6 y negativo a la derecha. Al combinar los signos con la regla de los signos, el cociente es negativo para , positivo entre y 6, positivo entre 6 y 8, y negativo para .
El punto x = 6
En , el numerador se anula y el denominador también, de modo que la función no existe ahí. Es una raíz común a numerador y denominador, y el signo no cambia al pasar por ella. Como se pide estrictamente mayor que cero, la solución es : el 6 queda excluido.
Para recordar
Un polinomio de tercer grado con tres raíces simples cambia de signo en cada una. Un cociente se estudia ubicando todas las raíces, de numerador y denominador, y combinando signos. Y los puntos donde el denominador se anula nunca forman parte de la solución.