Ecuaciones de tercer grado a partir de gráfica

Ecuaciones de tercer grado a partir de gráfica

Ecuaciones de tercer grado a partir de gráfica. Del curso Como Resolver Ecuaciones de Tercer Grado, resuelta paso a paso.

El problema inverso

Hasta ahora se partía de un polinomio para hallar sus raíces. En esta clase se hace al revés: se dispone de la gráfica de una función polinómica de tercer grado y hay que determinar su ecuación. Es un tipo de ejercicio muy frecuente en las pruebas, y se resuelve siempre con el mismo método.

Los datos que da la gráfica

De la gráfica se leen tres cosas. Los puntos donde la curva corta al eje horizontal son las raíces. El punto donde corta al eje vertical es el término independiente, es decir, $f(0)$. Y a veces el enunciado agrega un valor de la función en otro punto, como $f(2)$. Con esos datos alcanza para determinar el polinomio.

El método

Se plantea la descomposición factorial: $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$, con las raíces leídas del gráfico. Falta el coeficiente principal $a$, que se obtiene reemplazando el dato adicional, y se despeja. Si piden la forma desarrollada, se multiplican los factores.

El enunciado del ejercicio de la serie

El ejercicio que se resuelve en las clases siguientes muestra la gráfica de una función polinómica con tres raíces: $-5$, 6 y 8. El dato adicional es que $f(2) = 504$. Se pide determinar la ecuación, resolver la inecuación $f(x) \le 0$, y resolver la inecuación $\frac{f(x)}{-x + 6} > 0$.

Una precaución

Si el enunciado no aclara que el polinomio es de tercer grado, podría haber una raíz repetida que el gráfico no muestra, por ejemplo una raíz triple. En este ejercicio se dice que es de tercer grado y se ven tres raíces distintas, así que ese riesgo no existe. En general, una raíz doble se reconoce porque la curva toca al eje sin atravesarlo.

Antes de seguir

Mirá una gráfica de una cúbica e intentá leer a ojo sus raíces y su corte con el eje vertical. Es una habilidad que se afina con la práctica, y que hace que el planteo salga solo.