Cómo Factorizar Polinomios de Tercer Grado?

Qué aprenderás en esta clase

Cómo factorizar un polinomio de tercer grado: expresarlo como producto de factores x − raíz, y pasar de la forma general a la factorizada y viceversa.

Qué significa factorizar

Factorizar un polinomio de tercer grado es descomponerlo en factores, es decir, escribirlo como una multiplicación que, si se desarrollara, daría de nuevo el polinomio original. La ventaja de la forma factorizada es que muestra las raíces a simple vista y permite estudiar el signo con facilidad.

La forma general y la forma factorizada

El polinomio general es $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ . Si se conocen sus tres raíces, que se llaman $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ , el polinomio se puede escribir en forma factorizada como $P(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ . Es la misma expresión de otra manera: el coeficiente principal $a$ es el mismo en las dos formas.

Cómo factorizar paso a paso

Primero se busca una raíz, ya sea porque la da el enunciado o porque es evidente. Después se baja el polinomio con Ruffini, y se obtiene un polinomio de segundo grado. Se hallan sus raíces con Bhaskara. Finalmente, se arma el producto de los tres factores, sin olvidar el coeficiente principal.

Un ejemplo completo

Sea $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ . La suma de los coeficientes es $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ , así que 1 es raíz. Con Ruffini, dividiendo entre $x - 1$ , se obtienen los coeficientes $1, -5, 6$ , es decir, el cociente $x^2 - 5x + 6$ . Sus raíces son 2 y 3. Por lo tanto, $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ .

Qué pasa si hay raíces repetidas o complejas

Si una raíz aparece repetida, el factor se repite: $(x - 2)^2(x + 1)$ . Si hay una raíz real y dos complejas, el polinomio se factoriza como un factor lineal por un factor cuadrático sin raíces reales, como $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ para $x^3 - 8$ . En ese caso, el factor cuadrático ya no se puede descomponer más en los reales.

Comprobación

Para verificar una factorización se desarrolla el producto y se comprueba que se recupera el polinomio. En el ejemplo, $(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 5x^2 + 6x - x^2 + 5x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ . Coincide.

Cuándo no es posible con números reales

No todo polinomio de tercer grado se factoriza completamente en factores lineales con coeficientes reales. Si solo tiene una raíz real, como $x^3 + x + 2$ , cuya única raíz real es $-1$ , queda un factor cuadrático que no se descompone: $x^3 + x + 2 = (x + 1)(x^2 - x + 2)$ . Conviene recordar que toda cúbica tiene al menos un factor lineal real, y que ese es el primero que hay que buscar.