Ecuación de Grado 3 solo con término principal y término independiente

Ecuación de Grado 3 solo con término principal y término independiente

En este caso nos planteamos la resolución de una ecuación de tercer grado que poseen tan solo el término principal y término independiente.

En este caso nos planteamos la resolución de una ecuación de tercer grado que poseen tan solo el término principal y término independiente. Vamos a resolver el siguiente ejemplo: En estos casos vamos a realizar un sencillo despeje que desarrollamos a continuación: es la solución de la ecuación planteada anteriormente. Además cabe destacar que las otras dos soluciones; en este caso; son soluciones imaginarias.

Un caso con solo dos términos

Hay ecuaciones de tercer grado que tienen únicamente el término principal y el término independiente: $ax^3 + d = 0$. Faltan los términos de grado 2 y de grado 1. En estos casos no hace falta Ruffini ni Bhaskara: basta con un despeje sencillo.

El ejemplo de la clase: x al cubo menos 8

Se plantea $x^3 - 8 = 0$. Se pasa el 8 sumando al otro lado: $x^3 = 8$. Para despejar $x$ se aplica la raíz cúbica en los dos miembros: $x = \sqrt[3]{8}$. Como $2 \times 2 \times 2 = 8$, la solución es $x = 2$.

Las otras dos soluciones

Un polinomio de tercer grado tiene tres raíces, pero acá solo se encontró una real. Las otras dos son imaginarias. Se pueden ver con una factorización: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. El factor de segundo grado tiene discriminante $4 - 16 = -12$, que es negativo, así que no tiene raíces reales. Por eso la ecuación tiene una única solución real, $x = 2$.

La raíz cúbica de números negativos

A diferencia de la raíz cuadrada, la raíz cúbica sí existe para números negativos: $\sqrt[3]{-27} = -3$, porque $(-3)^3 = -27$. Entonces $x^3 + 27 = 0$ tiene la solución real $x = -3$. Esto explica por qué estas ecuaciones siempre tienen exactamente una raíz real, sea cual sea el signo del término independiente.

Con coeficiente principal distinto de 1

Si el coeficiente principal no es 1, primero se lo pasa dividiendo. Por ejemplo, $2x^3 - 54 = 0$ da $x^3 = 27$, y $x = 3$. Y $5x^3 + 40 = 0$ da $x^3 = -8$, con $x = -2$.

Para tener presente

La clave es reconocer rápidamente la forma de la ecuación. Si hay solo dos términos, el despeje es el camino más corto, y el resultado es una raíz cúbica. Para comprobar, se eleva la solución al cubo: $2^3 = 8$ y se verifica. Practicá con $x^3 - 125 = 0$, que da $x = 5$, y con $8x^3 + 1 = 0$, que da $x = -\frac{1}{2}$.

Una interpretación gráfica

La gráfica de $y = x^3 - 8$ es la de $y = x^3$ desplazada 8 unidades hacia abajo. La curva $y = x^3$ es creciente, pasa por el origen y corta al eje horizontal una sola vez. Al desplazarla, sigue cortándolo una sola vez, en $x = 2$. Esa es la razón visual por la que estas ecuaciones tienen siempre una única raíz real.