Qué aprenderás en esta clase
La descomposición factorial de un polinomio de tercer grado: por qué se usa, cómo se obtiene a partir de las raíces y cómo se verifica.
Por qué es la herramienta central
La descomposición factorial es la forma de escribir un polinomio como producto del coeficiente principal por un factor lineal por cada raíz. Es la herramienta central de todo el curso, porque une dos mundos: la forma desarrollada, que es la que se escribe en una ecuación, y la forma factorizada, que es la que muestra las raíces y permite estudiar el signo.
La fórmula
Para un polinomio de tercer grado con raíces , y , la descomposición es . El teorema que lo respalda dice que si es raíz de , entonces divide al polinomio. Esa es la razón por la que, al conocer una raíz, se puede bajar el polinomio con Ruffini.
De las raíces a la forma desarrollada
Para pasar a la forma desarrollada, se multiplican los factores. Con raíces 1, 2 y 3 y : . Los coeficientes tienen una interpretación útil: el coeficiente de es la suma de las raíces cambiada de signo, , y el término independiente es el producto de las raíces cambiado de signo, . Estas relaciones permiten comprobar rápido un resultado.
De la forma desarrollada a las raíces
En el sentido contrario, se busca una raíz, se baja con Ruffini y se resuelve el cociente. Es el procedimiento para factorizar. Por ejemplo, para , la suma de coeficientes es , así que 1 es raíz. El cociente es , con raíces 3 y . Entonces .
Qué se usa en cada tipo de ejercicio
Si el ejercicio parte de un gráfico, se usa la factorización directa con las raíces leídas. Si parte de una ecuación, se factoriza con Ruffini. En ambos casos, el resultado se verifica desarrollando el producto o comparando términos. Un buen hábito es controlar siempre que el término independiente coincida con el producto de las raíces cambiado de signo, multiplicado por .
Para practicar
Factorizá : la suma de coeficientes es 0, así que 1 es raíz; el cociente es , con raíces 3 y . La respuesta es .