Como resolver ECUACIONES DE TERCER GRADO a partir de GRÁFICA

Qué aprenderás en esta clase

Los tres tipos de ejercicios con polinomios de tercer grado a partir de una gráfica: con tres raíces dadas, con una raíz desconocida y con inecuaciones.

Tres familias de ejercicios

Los ejercicios en los que hay que resolver ecuaciones de tercer grado a partir de una gráfica se pueden agrupar en tres familias, según qué datos faltan. Reconocer a cuál pertenece un ejercicio es el primer paso para resolverlo, y cada familia tiene su técnica.

Primera familia: las tres raíces están a la vista

Es el caso más simple. El gráfico muestra tres cortes con el eje horizontal, y hay un dato para hallar el coeficiente. Se plantea la descomposición factorial, se calcula $a$ y se desarrolla. Es el de los ejercicios con raíces $-2$ , 1 y 3, o con $-5$ , 6 y 8.

Segunda familia: una raíz es desconocida

Si una de las raíces no se puede leer del gráfico, hacen falta dos datos en lugar de uno. Se arma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: el coeficiente principal $a$ y la raíz desconocida $\alpha$ . Un truco que simplifica el sistema es que en ambas ecuaciones suele aparecer el producto $a\alpha$ , de modo que se lo puede tratar como una sola incógnita.

Tercera familia: ecuaciones e inecuaciones con la función

Una vez que se tiene la función, el enunciado puede pedir resolver $f(x) = k$ , $f(x) \le 0$ o un cociente. Para resolver $f(x) = k$ , se pasa todo a un lado y se resuelve la ecuación cúbica resultante con Ruffini, aprovechando que ya se conoce una de sus raíces porque viene dada en el gráfico. Para las inecuaciones, se estudia el signo.

Cómo reconocer cuál es cuál

Contá las raíces que se pueden leer y los datos adicionales. Con tres raíces y un dato, es la primera familia. Con dos raíces y dos datos, es la segunda. Y si hay una pregunta posterior sobre signos o valores, es la tercera, que se apoya en alguna de las anteriores.

Un consejo final

Antes de calcular, escribí qué se conoce y qué falta. Es una pequeña tabla de dos columnas que ordena el trabajo y evita errores. En los ejercicios de esta serie, la primera familia aparece en las clases con raíces $-2$ , 1 y 3, y con $-2$ , 1 y 5, y la segunda en la clase con raíz incógnita.